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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Di 30.11.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Richtig oder falsch?
1. Für k [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] $f:[1,\infty) \to \IR$ [/mm] gegeben durch [mm] f_{k}(x)=x^{-k}.
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{[1,\infty]}f_{k} d\lambda [/mm] = [mm] \integral_{[1,\infty]}\limes_{k\rightarrow\infty}f_{k} d\lambda [/mm]
2. [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}k cos(k^{2}t) [/mm] dt = [mm] \integral_{0}^{1} \limes_{k\rightarrow\infty}k cos(k^{2}t) [/mm] dt
3. [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} \bruch{kx^{5/2}}{kx^{2}+1}dx [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
4. [mm] \bruch{d}{dt}(\integral_{0}^{1} e^{tx^{2}}dx) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} (\bruch{d}{dt} e^{tx^{2}}) [/mm] dx |
Hallo zusammen,
ich brauche mal wieder euer gesammeltes Wissen und eure Hilfe...
Ich habe mir folgende Gedanken gemacht:
zu 1: in der VL hatten wir den Satz der monotonen Kovergenz, mit der Bemerkung, dass die gleichheit nur dann gilt, wenn es sich um nicht-negative Funktionen handelt.
Reicht dann hier schon diese Aussage, um zu sagen dass die Aussage hier falsch ist, da für k ungerade auch negtive werte angenommen werden ?
zu 2:
hier konnte man ja einfach beides mal ausrechnen, ich komme aber dann zu folgendem problem:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}k cos(k^{2}t) [/mm] dt
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [\bruch{1}{k} sin(k^{2}t)]_{0}^{1}
[/mm]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [\bruch{1}{k} sin(k^{2}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{k} [/mm] sin(0) ]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [\bruch{1}{k} sin(k^{2}] [/mm]
so der limes von [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ist ja 0, aber was ist mit dem sinus teil...da ist doch kein grenzwert definiert oder?
das gleiche ergibt sich dann ja für die andre seite der gleichung
[mm] \integral_{0}^{1} \limes_{k\rightarrow\infty}k cos(k^{2}t) [/mm] dt
wenn ich hier mit dem limes anfange,geht k gegen [mm] \infty [/mm] und cosinus ist nicht definiert....oder?
Ist es demnach richtig, weil beides nicht definiert ist? oder ist das bei [mm] cos(k^{2}t) [/mm] [-1,+1] ?
zu 3:
die gesamte rechnung hierhin zu schreiben würde stunden dauern...ich komme durch integrieren (ich gebe zu ich habs von wolframs integral ausrechnen lassen) auf die stammfunktion setze ein usw...komme letztendlich aber wenn ich den limes anwende auf = 0 und nicht auf [mm] \bruch{2}{3} [/mm] es wäre sehr nett wenn das jemand überprüfen könnte...wenn nötig schreibe ich natürlich acuh die rechnung auf...
zu 4:
kann ich glaube ich von nem Satz auf Dirk Werner (Einführung in die höhere Analysis) (S.245) ableiten...
Danke für jede Hilfe...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Richtig oder falsch?
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> 1. Für k [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]f:[1,\infty) \to \IR[/mm] gegeben durch
> [mm]f_{k}(x)=x^{-k}.[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{[1,\infty]}f_{k} d\lambda[/mm]
> = [mm]\integral_{[1,\infty]}\limes_{k\rightarrow\infty}f_{k} d\lambda[/mm]
>
> 2. [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}k cos(k^{2}t)[/mm]
> dt = [mm]\integral_{0}^{1} \limes_{k\rightarrow\infty}k cos(k^{2}t)[/mm]
> dt
>
> 3. [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} \bruch{kx^{5/2}}{kx^{2}+1}dx[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> 4. [mm]\bruch{d}{dt}(\integral_{0}^{1} e^{tx^{2}}dx)[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1} (\bruch{d}{dt} e^{tx^{2}})[/mm] dx
> Hallo zusammen,
> ich brauche mal wieder euer gesammeltes Wissen und eure
> Hilfe...
>
> Ich habe mir folgende Gedanken gemacht:
>
> zu 1: in der VL hatten wir den Satz der monotonen
> Kovergenz, mit der Bemerkung, dass die gleichheit nur dann
> gilt, wenn es sich um nicht-negative Funktionen handelt.
> Reicht dann hier schon diese Aussage, um zu sagen dass die
> Aussage hier falsch ist, da für k ungerade auch negtive
> werte angenommen werden ?
Was ist ? Die Funktion $ [mm] f_{k}(x)=x^{-k}. [/mm] $ ist doch auf [1, [mm] \infty] [/mm] immer >0 !!
>
> zu 2:
> hier konnte man ja einfach beides mal ausrechnen, ich
> komme aber dann zu folgendem problem:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}k cos(k^{2}t)[/mm]
> dt
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} [\bruch{1}{k} sin(k^{2}t)]_{0}^{1}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} [\bruch{1}{k} sin(k^{2})[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] sin(0) ]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} [\bruch{1}{k} sin(k^{2}][/mm]
> so der limes von [mm]\bruch{1}{k}[/mm] ist ja 0, aber was ist mit
> dem sinus teil...da ist doch kein grenzwert definiert
> oder?
[mm] \bruch{1}{k} sin(k^{2}) \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty, [/mm] da [mm] sin(k^{2}) [/mm] beschränkt !!
> das gleiche ergibt sich dann ja für die andre seite der
> gleichung
> [mm]\integral_{0}^{1} \limes_{k\rightarrow\infty}k cos(k^{2}t)[/mm]
> dt
> wenn ich hier mit dem limes anfange,geht k gegen [mm]\infty[/mm] und
> cosinus ist nicht definiert....oder?
k [mm] cos(k^{2}t) [/mm] hat keinen Grezwert für k [mm] \to \infty [/mm] !!
>
> Ist es demnach richtig, weil beides nicht definiert ist?
> oder ist das bei [mm]cos(k^{2}t)[/mm] [-1,+1] ?
>
> zu 3:
> die gesamte rechnung hierhin zu schreiben würde stunden
> dauern...ich komme durch integrieren (ich gebe zu ich habs
> von wolframs integral ausrechnen lassen) auf die
> stammfunktion setze ein usw...komme letztendlich aber wenn
> ich den limes anwende auf = 0 und nicht auf [mm]\bruch{2}{3}[/mm] es
> wäre sehr nett wenn das jemand überprüfen könnte...wenn
> nötig schreibe ich natürlich acuh die rechnung auf...
[mm] \bruch{kx^{5/2}}{kx^{2}+1} \to \wurzel{x} [/mm] für k [mm] \to \infty
[/mm]
(Klammere k aus !)
Weiter ist [mm] |\bruch{kx^{5/2}}{kx^{2}+1}| [/mm] = [mm] \bruch{kx^{5/2}}{kx^{2}+1} \le \wurzel{x} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1]
Nun denke an den Lebesgueschen Konvergenzsatz (maj. Konvergenz)
>
> zu 4:
> kann ich glaube ich von nem Satz auf Dirk Werner
> (Einführung in die höhere Analysis) (S.245) ableiten...
Ja das kannst Du
FRED
>
> Danke für jede Hilfe...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Di 30.11.2010 | | Autor: | cmueller |
> > Hallo zusammen,
> > ich brauche mal wieder euer gesammeltes Wissen und eure
> > Hilfe...
> >
> > Ich habe mir folgende Gedanken gemacht:
> >
> > zu 1: in der VL hatten wir den Satz der monotonen
> > Kovergenz, mit der Bemerkung, dass die gleichheit nur dann
> > gilt, wenn es sich um nicht-negative Funktionen handelt.
> > Reicht dann hier schon diese Aussage, um zu sagen dass
> die
> > Aussage hier falsch ist, da für k ungerade auch negtive
> > werte angenommen werden ?
>
>
> Was ist ? Die Funktion [mm]f_{k}(x)=x^{-k}.[/mm] ist doch auf [1,
> [mm]\infty][/mm] immer >0 !!
> >
oh verdammt natürlich^^ kann ich dann schließen, wenn das für nicht-negative folgen gilt, dass das auch für eine einzelne funktion gilt, wenn x und k positiv sind?
> > zu 2:
> > hier konnte man ja einfach beides mal ausrechnen, ich
> > komme aber dann zu folgendem problem:
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}k cos(k^{2}t)[/mm]
> > dt
> > = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} [\bruch{1}{k} sin(k^{2}t)]_{0}^{1}[/mm]
>
> >
> > = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} [\bruch{1}{k} sin(k^{2})[/mm] -
> > [mm]\bruch{1}{k}[/mm] sin(0) ]
> > = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} [\bruch{1}{k} sin(k^{2}][/mm]
> > so der limes von [mm]\bruch{1}{k}[/mm] ist ja 0, aber was ist mit
> > dem sinus teil...da ist doch kein grenzwert definiert
> > oder?
>
> [mm]\bruch{1}{k} sin(k^{2}) \to[/mm] 0 für k [mm]\to \infty,[/mm] da
> [mm]sin(k^{2})[/mm] beschränkt !!
>
> > das gleiche ergibt sich dann ja für die andre seite der
> > gleichung
> > [mm]\integral_{0}^{1} \limes_{k\rightarrow\infty}k cos(k^{2}t)[/mm]
> > dt
> > wenn ich hier mit dem limes anfange,geht k gegen [mm]\infty[/mm] und
> > cosinus ist nicht definiert....oder?
>
> k [mm]cos(k^{2}t)[/mm] hat keinen Grezwert für k [mm]\to \infty[/mm] !!
> >
alles klar, das sollte dann klar falsch sein^^
> > Ist es demnach richtig, weil beides nicht definiert ist?
> > oder ist das bei [mm]cos(k^{2}t)[/mm] [-1,+1] ?
> >
> > zu 3:
> > die gesamte rechnung hierhin zu schreiben würde
> stunden
> > dauern...ich komme durch integrieren (ich gebe zu ich habs
> > von wolframs integral ausrechnen lassen) auf die
> > stammfunktion setze ein usw...komme letztendlich aber wenn
> > ich den limes anwende auf = 0 und nicht auf [mm]\bruch{2}{3}[/mm] es
> > wäre sehr nett wenn das jemand überprüfen könnte...wenn
> > nötig schreibe ich natürlich acuh die rechnung auf...
>
>
> [mm]\bruch{kx^{5/2}}{kx^{2}+1} \to \wurzel{x}[/mm] für k [mm]\to \infty[/mm]
>
> (Klammere k aus !)
wenn ich k ausklammere habe ich doch
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}\bruch{kx^{5/2}}{kx^{2}+1}
[/mm]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} [/mm] k [mm] \bruch{x^{5/2}}{x^{2}+\bruch{1}{k}}
[/mm]
oder auch das k vor dem integral, aber komme ich damit denn weiter ich hab ja immernoch ein k drin und die quotientenregel zum aufleiten....
>
> Weiter ist [mm]|\bruch{kx^{5/2}}{kx^{2}+1}|[/mm] =
> [mm]\bruch{kx^{5/2}}{kx^{2}+1} \le \wurzel{x}[/mm] für x [mm]\in[/mm]
> [0,1]
>
> Nun denke an den Lebesgueschen Konvergenzsatz (maj.
> Konvergenz)
>
> >
> > zu 4:
> > kann ich glaube ich von nem Satz auf Dirk Werner
> > (Einführung in die höhere Analysis) (S.245) ableiten...
>
> Ja das kannst Du
>
> FRED
> >
> > Danke für jede Hilfe...
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Bruchrechnung ist eine hohe Kunst ....................... !!
[mm] $\bruch{ka}{kb+1}= \bruch{k}{k}*\bruch{a}{b+\bruch{1}{k}}= \bruch{a}{b+\bruch{1}{k}}$
[/mm]
FRED
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