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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 06.12.2008 | | Autor: | conankun |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A}) [/mm] ein Messraum und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] \mathcal{A} [/mm] . Seien [mm] A_{n} \in \mathcal{A}, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] stochastisch unabhängige Ereignisse, so dass
[mm] P(A_{n})< [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] P(\bigcup_{n \in \IN)} A_{n}) [/mm] = 1
Zeigen Sie:
[mm] P(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n})=1 [/mm] und berechnen Sie anschließend [mm] \summe_{n=1}^{\infty}P(A_{n})
[/mm]
Hinweis zum Beweis von [mm] P(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n})=1:
[/mm]
(1) Zeigen sie zunächst [mm] (B_{n})_{n\in\IN}\subset\mathcal{A}, P(B_{n})=1\forall n\in\IN \Rightarrow P(\bigcap_{n\in\IN}B_{n})=1
[/mm]
(2) Zeigen Sie [mm] \produkt_{n=1}^{\infty}P(A_{n}^{C})=0 [/mm] und folgern Sie damit [mm] P(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m})=1-\produkt_{m=n}^{\infty}P(A_{m}^{C})=1 \forall n\in\IN [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also erstmal zu (1): Dadurch das anscheinend jedes [mm] B_{n}=1 [/mm] ist hab ich geschlussfolgert, dass die Ereignisse stochastisch unabhängig sind, bin mir aber gar nicht sicher ob man das darf. Daraus würde jedenfalls Folgen das man die einzeinen Wahrscheinlichkeiten der [mm] B_{i} [/mm] multiplizieren darf und dann den gesamten Durchschnitt erhält. Das wäre dann ja 1*1*1*1*1*....*1 =1 was ja gesucht war. Ich weiß wie gesagt nur gar nicht ob man das überhaupt so machen darf, geschweige denn ob das richtig war.
zu (2): Da häng ich ziemlich. Ich hab damit angefangen zu sagen dass das [mm] P(A_{n}^C)=1-P(A_{n}) [/mm] ist und dann das Produkt nochmal neu aufgeschrieben als [mm] (1-P(A_{1})(1-P(A_{2}).... [/mm] , aber dann weiß ich auch nimmer weiter.
Kann auch sein das alles totaler Mist ist, was ich da fabrizier, das ist bei mir immer mehr so ne Art Ratespiel und ich bin mir da immer sehr unsicher.
Eine Frage hab ich noch weil man ja am Schluss [mm] \summe_{n=1}^{\infty}P(A_{n}) [/mm] berechnen soll.
Wir haben aufgeschrieben dass diese Summe [mm] \infty [/mm] ist wenn [mm] P(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n})=1 [/mm] , was hier ja gesucht ist
Gilt da auch die Umkehrung? Also sobald ich bewiesen habe, dass [mm] P(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n})=1, [/mm] kann ich dann daraus einfach schließen dass diese Summe jetzt [mm] \infty [/mm] ist?
tut mir leid sind ne Menge Fragen, aber ich komm mit dem ganzen uni-mathe noch überhaupt nicht zurecht, also entschuldigt bitte wenn ich hier totalen schwachsinn frage
Ich hab immer Angst, dass die Aufgaben ganz leicht sind und ich dennoch nichts kapiere.
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Hallo,
nur eine Teilantwort, aber vielleicht hilft dir das ja schon mal.
> Also erstmal zu (1): Dadurch das anscheinend jedes [mm]B_{n}=1[/mm]
> ist hab ich geschlussfolgert, dass die Ereignisse
> stochastisch unabhängig sind, bin mir aber gar nicht sicher
> ob man das darf. Daraus würde jedenfalls Folgen das man die
> einzeinen Wahrscheinlichkeiten der [mm]B_{i}[/mm] multiplizieren
> darf und dann den gesamten Durchschnitt erhält. Das wäre
> dann ja 1*1*1*1*1*....*1 =1 was ja gesucht war. Ich weiß
> wie gesagt nur gar nicht ob man das überhaupt so machen
> darf, geschweige denn ob das richtig war.
Genau, man muss aus den Vorraussetzungen schließen, dass die [mm] B_{n} [/mm] unabhängig sind, dann kann man den Schluss recht einfach zeigen. Ich bin mir zur Zeit noch nicht sicher, ob man es genau so machen kann, wie du es gemacht hast.
> zu (2): Da häng ich ziemlich. Ich hab damit angefangen zu
> sagen dass das [mm]P(A_{n}^C)=1-P(A_{n})[/mm] ist und dann das
> Produkt nochmal neu aufgeschrieben als
> [mm](1-P(A_{1})(1-P(A_{2})....[/mm] , aber dann weiß ich auch nimmer
> weiter.
Wie wäre es so: Oben ist gegeben, dass gilt 1 = P [mm] (\bigcup_{n=1}^{\infinity} A_{n}). [/mm] Nun gilt:
1 = P [mm] (\bigcup_{n=1}^{\infinity} A_{n}) [/mm] =
[mm] P(\bigcup_{n=1}^{\infinity} (\Omega [/mm] - [mm] A_{n}^{c})=
[/mm]
P( [mm] \Omega [/mm] - [mm] (\bigcap_{n=1}^{\infinity}A_{n}^{c}) [/mm] =
1 - P [mm] ((\bigcap_{n=1}^{\infinity}A_{n}^{c})) [/mm]
woraus die behauptung folgt und dann relativ einfach die andere Behauptung.
Den Schluss auf den limsup erhält man jetzt, indem man folgenden Trick macht: P [mm] ((limsupA_{n})^{c}) [/mm] = [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} [/mm] P [mm] (\bigcap_{n \ge= m}^{} A_{n}) [/mm] = 0 (das erste folgt aus Stetigkeit von unten) und damit P [mm] P(limsupA_{n}) [/mm] = 1.
> Kann auch sein das alles totaler Mist ist, was ich da
> fabrizier, das ist bei mir immer mehr so ne Art Ratespiel
> und ich bin mir da immer sehr unsicher.
Nee, eigentlich ist es kein Mist!
> Eine Frage hab ich noch weil man ja am Schluss
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}P(A_{n})[/mm] berechnen soll.
> Wir haben aufgeschrieben dass diese Summe [mm]\infty[/mm] ist wenn
> [mm]P(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n})=1[/mm] , was hier ja
> gesucht ist
>
> Gilt da auch die Umkehrung? Also sobald ich bewiesen habe,
> dass [mm]P(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n})=1,[/mm] kann ich dann
> daraus einfach schließen dass diese Summe jetzt [mm]\infty[/mm]
> ist?
Das ist interessant, da ich auch nur kenne, dass wenn die Wahrscheinlichkeit der Summe = unendlich ist, dass dann [mm] P(limsupA_{n}) [/mm] = 1 (ist das sog. Borel-Cantelli-Lemma). Anscheinend gilt aber auch die Umkehrung bei den gegebenen Vorraussezungen.
Ich hoffe das hilft schon mal.
Steffen
P.S. Diese Aufgabe ist eher nicht so leicht und gehört m.E. schon zu den Schwereren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:56 Mi 10.12.2008 | | Autor: | conankun |
Dankeschön das hat mir allerdings sehr weiter geholfen und auch Mut gemacht dass ich doch net ganz so doof bin, wie ich mir immer vorkomme.
Aber ich glaub das hält nur bis zur nächsten Aufgabe bei der ich hänge^^'
danke jedenfalls^^
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