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| Aufgabe | Mit unabhängigen Zufallsgrössen, die gleichförmig auf dem Intervall $ [-1,1] $ verteilt sind sei $ [mm] S_n [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i [/mm] $ . Man zeige, dass für $ 0 [mm] \le [/mm] t < s, t<1$
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} P(S_n \ge [/mm] sn | [mm] S_n \ge [/mm] tn) =0$
gilt. |
[mm] $P(S_n \ge [/mm] sn | [mm] S_n \ge [/mm] tn) [mm] =\bruch{P(S_n \ge sn \cap S_n \ge tn)}{P(S_n \ge tn)}=\bruch{P(S_n \ge sn)}{P(S_n \ge tn)}$
[/mm]
Da weiss ich also schon mal, was ich berechnen muss. Die Dichte von [mm] $X_i$ [/mm] ist
[mm] $f_{X_i}=\bruch{1}{2}*1_{-1\le x\le 1}$
[/mm]
Dann ist doch [mm] $S_n$ [/mm] gleichverteilt auf $ [-n,n] $ mit der Dichtefunktion
[mm] $f_{X_i}=\bruch{1}{2*n}*1_{-n\le x\le n}$ [/mm] was mit aber zu einem Integral führt, welches nicht mehr von n abhängig ist:
[mm] $P(S_n\ge sn)=\integral_{sn}^{n}{\bruch{1}{2n} dx}=\bruch{1-s}{2}$ [/mm] ???
Wo habe ich hier einen Fehler gemacht?
Grüsse
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Hiho,
> Dann ist doch [mm]S_n[/mm] gleichverteilt auf [mm][-n,n][/mm]
Wie kommst du darauf? Das stimmt doch schon für 2 ZV nicht.
edit: Kurz noch, warum nicht 
Für zwei unabhängige Zufallsvariable ist die Dichte von [mm] $X_1 [/mm] + [mm] X_2$ [/mm] gerade gegeben durch die Faltung [mm] $\integral_{-\infty}^t f_{X_1}(u)f_{X_2}(t-u) [/mm] du$
Hier also:
[mm] $\bruch{1}{4}\integral_{-\infty}^t 1_{[-1,1]}(u)1_{[-1,1]}(t-u) [/mm] du$
Und nun rechne das mal aus für $t [mm] \in [/mm] (-2,2)$
MFG,
Gono.
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Hallo und Danke. Ehrlich gesagt, keine Ahnung, wie ich das jetzt anstelle:
An [mm] $1_{[-1,1]}(u)$ [/mm] würde ich mal erkennen, dass alles ausserhalb des Intervalls $[-1,1] 0 $ ist. Dann ist "unten" $-1=t-u$ also $u=t+1$ und "oben" $1=t-u$ also $u=t-1$.
Wenn ich nun also integriere:
[mm] $\bruch{1}{4} \integral_{t-1}^{t+1}{du}=\bruch{1}{2}$ [/mm] .
Wie kann ich dieses Integral mit dieser Faltung berechnen, das wird ja wohl falsch sein, oder?
Grüsse
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Hiho,
oh ich sehe gerade, dass das integral nur bis t ging. Sollte natürlich bis unendlich gehen 
1. Fall: [mm]t < -2 \Rightarrow \{u \in [-1,1]\} \cap \{t-u \in [-1,1]\} = \emptyset \Rightarrow[/mm] Integral immer Null.
2. Fall: [mm]-2 \le t \le -1 \Rightarrow \{u \in [-1,1]\} \cap \{t-u \in [-1,1]\} = [-1,t+1] \Rightarrow \integral_{-\infty}^\infty 1_{[-1,1]}(u)1_{[-1,1]}(t-u) du = \integral_{-1}^{t+1} 1 du = 2+t[/mm]
3. Fall: [mm]-1 \le t \le 1 \Rightarrow \{u \in [-1,1]\} \cap \{t-u \in [-1,1]\} = [-|t|, |t|] \Rightarrow \integral_{-\infty}^\infty 1_{[-1,1]}(u)1_{[-1,1]}(t-u) du = \integral_{-|t|}^{|t|} 1 du = |t| + |t| = 2|t|[/mm]
4. Fall: [mm]1 \le t \le 2 \Rightarrow \{u \in [-1,1]\} \cap \{t-u \in [-1,1]\} = [t-1,1] \Rightarrow \integral_{-\infty}^\infty 1_{[-1,1]}(u)1_{[-1,1]}(t-u) du = 1 - (t -1) = 2-t[/mm]
Insgesamt also:
$f(t) = [mm] \begin{cases} 0 & |t| > 2 \\ 2 - |t| & 1 \le |t| \le 2 \\ 2|t| & |t| < 1 \end{cases}$
[/mm]
Und das ist sehr weit weg von einer Gleichverteilung
MFG,
Gono.
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Hallo Danke
$ -2 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] -1 [mm] \Rightarrow \{u \in [-1,1]\} \cap \{t-u \in [-1,1]\} [/mm] = [-1,t+1] [mm] \Rightarrow \integral_{-\infty}^\infty 1_{[-1,1]}(u)1_{[-1,1]}(t-u) [/mm] du = [mm] \integral_{-1}^{t+1} [/mm] 1 du = 2+t $
Ich verstehe hier überhaupt nicht, wie du auf t+1 kommst. Kannst du bitte hier alle Schritte erläutern?
Keine Ahnung, wie du diese Grenzen bestimmst. Was machst du mit u ?
Grüsse
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Hallo pablovschby,
> Hallo Danke
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> [mm]-2 \le t \le -1 \Rightarrow \{u \in [-1,1]\} \cap \{t-u \in [-1,1]\} = [-1,t+1] \Rightarrow \integral_{-\infty}^\infty 1_{[-1,1]}(u)1_{[-1,1]}(t-u) du = \integral_{-1}^{t+1} 1 du = 2+t[/mm]
>
> Ich verstehe hier überhaupt nicht, wie du auf t+1 kommst.
> Kannst du bitte hier alle Schritte erläutern?
Na, das sind die beiden Bedingungen [mm]u\in[-1,1][/mm] und [mm]t-u\in[-1,1][/mm] ausgewertet:
[mm]-1\le u\le 1[/mm] und [mm]-1\le t-u\le 1[/mm]
also [mm]-1\le u \le 1[/mm] und [mm]-t-1\le u\le t+1[/mm]
Wann sind beide Bedingungen für [mm]u[/mm] erfüllt?
>
> Keine Ahnung, wie du diese Grenzen bestimmst. Was machst du
> mit u ?
Die Bedingung für [mm]t-u[/mm] ist als Bedingung für [mm]u[/mm] umformuliert und dann mit der anderen Bedingung "geschnitten"
>
> Grüsse
Gruß
schachuzipus
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Ok, dann betrachte ich jetzt mal $t [mm] \in [/mm] [-1,1] $:
$-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 1$
$t-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] t+1$
Wie kommt man hier auf $|t|$ ?
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Hiho,
ich glaub ich war da etwas vorschnell
Aber nochmal langsam:
> Ok, dann betrachte ich jetzt mal [mm]t \in [-1,1] [/mm]:
>
> [mm]-1 \le u \le 1[/mm]
> [mm]t-1 \le u \le t+1[/mm]
>
> Wie kommt man hier auf [mm]|t|[/mm] ?
Nehmen wir erstmal [mm] $t\in [/mm] [-1,0]$ und erhalten:
$-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 1, t-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] t+1$ und damit [mm] $-1\le [/mm] u [mm] \le [/mm] t+1$
Nun [mm] $t\in [/mm] [0,1]$
$-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 1, t-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] t+1$ und damit $t-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 1$
Und wieder integrieren liefert dir halt jeweils deine Dichte.
Aber letztlich verfieselt du dich hier in Details, weil du es ja so nur für 2 ZV ausrechnest, du willst es ja aber für n Stück haben.
MFG,
Gono.
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Dann krieg ich hier als Dichte
[mm] $f_{X_1+X_2}(u)=\bruch{1}{2}*1_{-2 \le u \le 2 } [/mm] (u)$
Und wie berechne ich nun die Dichte für [mm] S_n [/mm] ????
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Hiho,
> Dann krieg ich hier als Dichte
> [mm]f_{X_1+X_2}(u)=\bruch{1}{2}*1_{-2 \le u \le 2 } (u)[/mm]
Nein!
Dann wäre das ja wieder gleichverteilt auf [-2,2], aber die Summe zweier unabhängiger gleichverteilter ZV auf dem selben Intervall ist ![[]](/images/popup.gif) dreiecksverteilt.
Generell gilt ja noch:
[mm] $IP(S_n \ge [/mm] sn | [mm] S_n \ge [/mm] tn) = 1 - [mm] \bruch{\IP(tn \le S_n \le sn)}{\IP( S_n \ge tn)}$
[/mm]
Ich hätte eigentlich nur noch eine Idee: Für ausreichend große n ist [mm] S_n [/mm] annähernd Normalverteilt und damit versuchen zu zeigen, dass
[mm] $\bruch{\IP(tn \le S_n \le sn)}{\IP( S_n \ge tn)} \to [/mm] 1$
MFG,
Gono.
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