Limes bei Ableitung Trig. Fkt. < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Im Folgenden eine im Prinzip sehr einfache Frage, die eigentlich kein Problem darstellen sollte, jedoch habe ich mich zu lange mit Sonderfällen etc. beschäftigt, sodass das Elementare mir schwer fällt.
Wie bestimmt man die einzelnen Grenzwerte, die bei der Herleitung der 1. Ableitung mit dem Differentialquotienten auftreten?
also [mm] \limes_{h\rightarrow\zero} [/mm] ( (-sin a)*((sin h)/h) ) + ( -((1-cos h)/h)cos a )
= -sin a
für Kosinus.
oder
[mm] \limes_{h\rightarrow\zero} [/mm] ( (cos a)*((sin h)/h) )- ( (1-cos h)/h)sin a )
= cos a
für sinus.
Also nochmal meine Frage: Wie bestimme ich beispielsweise [mm] \limes_{h\rightarrow\zero} [/mm] ( (-sin a)*((sin h)/h) )?
(Hinweis: natürlich "h nach 0")
Vielen Dank!
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Man kann die Grenzwerte nicht direkt berechnen, ohne dass man schon weiß was Sinus und Cosinus abgeleitet ist. Deswegen bedient man sich einer "Näherungsüberlegung":
[mm] \sin(h) [/mm] ist für [mm] h\to [/mm] 0 ungefähr h, d.h. [mm] \limes_{h\to 0}\sin(h) [/mm] = [mm] \limes_{h\to 0}h.
[/mm]
(Kannst du dir im Graphen veranschaulichen: Der Sinus ist ja in der Nähe der 0 fast eine lineare Funktion, also sozusagen "x")
Wenn man das dann in den Limes einsetzt, erhält man
[mm] \limes_{h\to 0}\bruch{\sin(h)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\to 0}\bruch{h}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\to 0}1 [/mm] = 1.
Ähnlich geht es beim Cosinus - der ähnelt für [mm] h\to [/mm] 0 einer Konstanten Funktion 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 So 18.05.2008 | | Autor: | kaliyanei |
In Ordnung, das hat meine Frage beantwortet. Einen derartigen Weg wäre ich auch gegangen, was mir aber über die Legitimität nicht sicher.
Danke!
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