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Limes berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Mi 16.09.2009
Autor: katjap

Aufgabe
Berechnen Sie
lim x->0 [mm] \bruch{1-cos(x/2}{1-cosx} [/mm]

Hallo!
Ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter, entweder ich mache einen Fehler beim ableiten, oder ich wende den Satz von L'hopital falsch an


da das ja für x gegen null 0/0 sein würde, muss man die Regel von l'hopital is daher der lim f(x) gleich dem limes f'(x)

also mache ich die erste Ableitung der funktion

f'(x)= [mm] \bruch{0,5 sin(x/2)}{1-cosx} [/mm] - [mm] \bruch{1-cos(x/2)sin x}{(1-cosx)^{2}} [/mm]

da dies in beiden faellen immer noch null durch null ist, mache ich nun auch die 2. ableitung

f''(x) = [mm] \bruch{1/4cos(x/2) (1-cosx)-sinx(1/2sin(x/2)}{(1-cosx)^{2}} [/mm] -
[mm] \bruch{(1/2sin(x/2)sinx +(1-cosx/2)cosx)(1-cosx)^{2}-(1-cos(x/2))sinx*2(1-cosx)(sinx)}{(1-cosx)^{4}} [/mm]


das ist immer noch 0/0... weitere ableitungen wären viel zu kompliziert fuer die anzahl punkte die es fuer diese aufgabe gibt, wo ist der fehler?


danke fürs drueberschauen

katja

        
Bezug
Limes berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Mi 16.09.2009
Autor: Bastiane

Hallo katjap!

> Berechnen Sie
>  lim x->0 [mm]\bruch{1-cos(x/2}{1-cosx}[/mm]
>  
> Hallo!
>  Ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter, entweder
> ich mache einen Fehler beim ableiten, oder ich wende den
> Satz von L'hopital falsch an
>  
>
> da das ja für x gegen null 0/0 sein würde, muss man die
> Regel von l'hopital is daher der lim f(x) gleich dem limes
> f'(x)
>  
> also mache ich die erste Ableitung der funktion
>  
> f'(x)= [mm]\bruch{0,5 sin(x/2)}{1-cosx}[/mm] - [mm]\bruch{1-cos(x/2)sin x}{(1-cosx)^{2}}[/mm]

Was heißt denn hier "erste Ableitung"? Wenn ich mich recht erinnere, müssen bei dieser Regel der Zähler und der Nenner einzeln abgeleitet werden. :-) Du erhältst dann also:

[mm] \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})}{\sin(x)} [/mm]

Dies kannst du vereinfachen zu

[mm] \lim_{x\to 0}\frac{\sin(\frac{x}{2})}{2\sin(x)} [/mm]

Und darauf kannst du nochmal L'Hospital anwenden. :-) Am Ende sollte [mm] \frac{1}{4} [/mm] herauskommen.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]
Bezug
                
Bezug
Limes berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Mi 16.09.2009
Autor: katjap

ahhhh, da ist der haken,
ich wusste doch irgendwie innerlich, dass die regel von l'hopital anders ging;)

dankeschön fürs vom schlauch helfen.

katja
Bezug
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