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| Aufgabe | Grenzwert finden von:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^x
[/mm]
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diese darstellung kann man umschreiben in [mm] \limes_{x\rightarrow 0}e^{x*ln(x)}=e^{(\limes_{x\rightarrow 0} xln(x))}=e^{(\limes_{x\rightarrow 0}-x)} [/mm]
Nun meine Frage wieso wird aus x*ln(x) -x??
Gruß niesel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Di 06.03.2007 | | Autor: | heyks |
Schönen Guten Tag,
erstmal muß es statt [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} [/mm] wohl [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] heißen ....
Da der [mm] \ln [/mm] langsamer wächst, als jede Potenz on x (folgt aus [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch {x}{e^x}=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch {x}{e^x}= \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch {\bruch{1}{x}}{e^{\bruch{1}{x}}}= \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch {\ln(\bruch{1}{x})}{e^{ln(\bruch{1}{x})}} [/mm] ) muß [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} x\cdot~ln(x) [/mm] =0 gelten, damit aufgrund der Stetigkeit von [mm] \exp [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR~ \limes_{x\rightarrow\ 0}x^x [/mm] = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow\ 0}x\cdot ln(x)}.
[/mm]
LG
Heiko
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Hallo niesel!
Hier wurde für [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\left[x*\ln(x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}}$ [/mm] , welcher den Ausdruck [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] darstellt, der  Grenzwertsatz nach de l'Hospital angewandt.
Durch die jeweilige Ableitung in Zähler und Nenner erhalten wir:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^2}}$
[/mm]
Durch Zusammenfassen / Kürzen erhalten wir daraus dann den Term $-x_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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