Limes k-te Wurzel aus k! < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 So 06.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
aus einem anderen Thread heraus entstand dieses Problem:
Warum ist
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^x}{\wurzel[k]{k!}}<1 [/mm] mit x<1 ?
Danke!
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Hallo Oli,
das sieht nicht einfach aus.
Mit der ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel ist zwar eine gute Abschätzung möglich, aber ob Ihr die auch verwenden dürft...
zu zeigen ist:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^x}{\wurzel[k]{k!}}<1[/mm]
> mit x<1 ?
Äquivalent wäre die Aussage:
Für jedes [mm] x\in\IR, [/mm] x<1 gilt:
es gibt ein [mm] K\in\IN, [/mm] so dass [mm] \bruch{k^x}{\wurzel[k]{k!}}<1 [/mm] für alle [mm] k\ge{K}
[/mm]
Formen wir mal um:
[mm] \bruch{k^x}{\wurzel[k]{k!}}<1\quad \Rightarrow k^x<\wurzel[k]{k!} \quad \Rightarrow \quad \left(k^x\right)^k
So, jetzt stehen links k gleiche Faktoren (alle [mm] k^x [/mm] natürlich) und rechts auch k Faktoren, aber leider ungleich.
Nehmen wir nun an, es gebe ein m<k, [mm] m\in\IN, [/mm] mit [mm] \bruch{k^x}{m}<1\le \bruch{m+1}{k^x} [/mm]
Dann können wir die obige Ungleichung sicher so schreiben:
[mm] \left(k^x\right)^k
Die 1 in der Mitte dient mehr als Erinnerung an die Definition von m ...
Die Frage ist nun: gibt es so ein m? Oder genauer: gibt es ein K(x), so dass für jedes [mm] k\ge{K(x)} [/mm] ein m(k) existiert, das die Bedingung erfüllt?
Wenn ja, dann ist die Aufgabe gelöst.
Den Rest dazu lasse ich Dir mal zum weiteren Vergnügen. Wenn Du soweit bist, berechne doch mal [mm]K(0,999)[/mm]. Es ist groß. 
Falls übrigens jemand einen einfacheren Weg sieht: ich würde mich freuen!
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mo 07.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Puuuh... Das es doch SO komplex werden würde, hätte ich nicht erwartet. Mit Quotienten- statt Wurzelkriterium war es dann doch deutlich einfacher ;)
Aber ich werde hier mal drüber nachdenken, wenn ich Zeit habe!
Danke!
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