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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 20.03.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Bin grad bei der Gammafunktion:
Ich wollte fragen, was für mathematische Argumente ich für folgende Gleichheit benötige:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{z-1} dt}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^n (1-\bruch{t}{n})^n t^{z-1}dt
[/mm]
Ich meine... Stelle ich die e-Funktion mit Hilfe des Grenzwertes einer Folge dar, kann ich wegen gleichmäßiger Konvergenz den Grenzwert aus dem Integral ziehen. Wegen Existenz des Integrals kann ich die obere Grenze auch als Grenzwert darstellen. Dadurch bekomme ich jedoch nur
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{z-1} dt}=\limes_{n\rightarrow\infty}\limes_{m\rightarrow\infty}\integral_{0}^m (1-\bruch{t}{n})^n t^{z-1}dt
[/mm]
Wegen der Konvergenz beider Folgen kann ich natürlich auch beide Grenzprozesse vertauschen.
Warum aber kann ich hier aus beiden Grenzprozessen einen machen? Also warum kann ich m=n setzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Setze
[mm] $f_n(t):= 1_{[0,n]}*(1-t/n)^n*t^{z-1}$ [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 0 und n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann ist
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{f_n(t) dt}=\integral_{0}^n (1-\bruch{t}{n})^n t^{z-1}dt [/mm] $
FRED
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