Limes und Integral vertauschen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mo 25.05.2009 | | Autor: | thommy |
Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu einem Schritt in einem Beweis:
Dort wird gesagt das gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \int_{\IR^n}^{} |f(x+h)-f(x)|^p\, dx = 0 [/mm]
wobei f(x) eine stetige Funktion mit kompaktem Träger ist und f(x+h)-f(x) glm. stetig ist (das gilt doch, weil das eine Funktion auf einem komp. Träger ist und stetige Fkten auf kompakten Mengen sind glm stetig oder?)
Nun frage ich mich, ob man den Limes einfach in das Integral reinziehen darf, weil die Integralfkt stetig ist?! Oder warum geht das?
oder besser: wie zeigt man genau das der limes 0 ist?
Wer kann mir da weiterhelfen?
lg thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Schau Dir mal die Konvergenzsätze der Lebesqueschen Integrationstheorie an
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 26.05.2009 | | Autor: | thommy |
Sagen die nicht nur was über die Integration von Funktionenfolgen aus?
also ich wüsste nicht was mir zb die dominierte oder monotone konvergenz hier bringen würde.
oder sehe ich da was falsch?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sagen die nicht nur was über die Integration von
> Funktionenfolgen aus?
> also ich wüsste nicht was mir zb die dominierte oder
> monotone konvergenz hier bringen würde.
Na dann eben nicht .................. Aber heute habe ich meinen gr0ßzügigen Tag, daher:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \int_{\IR^n}^{} |f(x+h)-f(x)|^p\, [/mm] dx = 0 $ [mm] \gdw
[/mm]
$ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} \int_{\IR^n}^{} |f(x+h_n)-f(x)|^p\, [/mm] dx = 0 $ für jede Nullfolge [mm] (h_n).
[/mm]
Ist also [mm] (h_n) [/mm] eine Nullfolge, so setze
[mm] $g_n(x) [/mm] = [mm] |f(x+h_n)-f(x)|^p$
[/mm]
Jetzt sollte es Dir aber was bringen, gell ...?
FRED
>
> oder sehe ich da was falsch?
> lg
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:26 Di 26.05.2009 | | Autor: | thommy |
ok, das hilft mir ;)
jetzt nur noch die frage: welchen satz? finde ich eine dominierende funktion? könnte ich jetzt so spontan mit ja beantworten.
ist die funktion monoton wachsend? denke nicht :/
was ich halt so komisch finde, ist wie der beweis abläuft:
also, man legt ne Kugel um den Ursprung mit radius r, sodass der kompakte träger der Funktion darin enthalten ist. Dann soll man bemerken, dass
[mm] f(x+h)-f(x) [/mm] glm stetig ist und ausserhalb von der Kugel B um 0 mir radius r+1 für |h| < 1 verschwindet. Daraus soll folgen, das
[mm] limes_{h\rightarrow 0} \int_{\IR^n}^{} |f(x+h)-f(x)|^p\, dx = 0 [/mm]
wobei auch noch gesagt wird, das die konvergenz glm ist.
so, und den zusammenhang verstehe ich nicht. warum folgt aus der glm stetigkeit und dem verschwinden ausserhalb der kugel, das der limes = 0 ist? die glm konvergenz folgt dann daraus, das der limes = 0 ist?
lg und danke für deine bemühungen fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 28.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Fr 29.05.2009 | | Autor: | thommy |
*push* :)
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