Lin. Abb. & Isomorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.Sei K Körper, seien V,W 2 K-Vektorräume. Sei V [mm] \to [/mm] W linear. Dann ist f surjektiv, genau dann wenn, [mm] dimV\le [/mm] dimW
2. Jeder Vektorraum ist Bild eines Endomorphismus.
3. Zwei Vektorräume über einem Körper K sind genau dann isomorph, wenn sie die selbe Dimension haben.
4. Eine lin. Abb. [mm] F:V\to [/mm] W ist ein Isomorphismus, wenn die Vektorräume V und W zueinander isomorph sind. |
hallo zusammen,
haben mich mit diesen Aussagen hier beschäftigt und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
zu 1) Nein, es müsste heiße dimV [mm] \ge [/mm] dimW
zu 2) Ja, denn ein Endomorphismus ist eine lin. Abb. von V [mm] \to [/mm] V für irgendein Vektorraum V über einem Körper K. somit ist jeder Vektorraum auch immer Bild eines Endomorphismus, oder??
zu 3) weiß ich nicht genau, die Hinrichtung stimmt meines Erachtens. denn wenn sie isomorph sind, dann bilden die spaltenvektoren der Darstellungsmatrix eine Basis der Bildraumes, aus der injektivität folgt dass der kern 0 ist und daraus folgt dann nach dimensionsformel, dass die Dimesionen von Urbild- und Bildraum gleich sind, oder?
Aber die Rückrichtung glaube ich stimmt nicht, denn wenn die Dimesionen gleich sind, folgt daraus doch erstmal nur das die Abb. injektiv ist, aber das muss doch dann nicht zwingend surjektiv sein, oder??
zu 4) Ja, denn es gilt f: V [mm] \to [/mm] W Isomorphismus [mm] \gdw [/mm] f bijektiv [mm] \gdw [/mm] Die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix eine Basis vom Bild sind => Die Räume V und W sind dann isomoph.
wäre super lieb, wenn jemand dazu GANZ KRITISCH Stellung beziehen könnte.
Vielen lieben Dank, viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ganz kritisch ?!?
ok...
> zu 1) Nein, es müsste heiße dimV [mm]\ge[/mm] dimW
nein, du gibst nur eine notwendige Bedingung an.
Beachte z.B. die Nullabbildung !
> zu 2) Ja, denn ein Endomorphismus ist eine lin. Abb. von V
> [mm]\to[/mm] V für irgendein Vektorraum V über einem Körper K. somit
> ist jeder Vektorraum auch immer Bild eines Endomorphismus,
> oder??
*grins*
kritisch gesehen muss man jetzt sagen, dass du hier keine ausreichenden Argumente vorbringst, wenn du zum schluss selbst nachfragen musst...
(deine argumente muessen nur einen schluss zu lassen)
aber : betrachte doch mal als Endomorphismus die Identitaet !
> zu 3) weiß ich nicht genau, die Hinrichtung stimmt meines
> Erachtens. denn wenn sie isomorph sind, dann bilden die
> spaltenvektoren der Darstellungsmatrix eine Basis der
> Bildraumes, aus der injektivität folgt dass der kern 0 ist
> und daraus folgt dann nach dimensionsformel, dass die
> Dimesionen von Urbild- und Bildraum gleich sind, oder?
> Aber die Rückrichtung glaube ich stimmt nicht, denn wenn
> die Dimesionen gleich sind, folgt daraus doch erstmal nur
> das die Abb. injektiv ist, aber das muss doch dann nicht
> zwingend surjektiv sein, oder??
Die Frage ist nicht eindeutig !
fuer endlich-dimensionale VR stimmt die Aussage, aber fuer unendlich-dimensionale erstmal nicht (jedenfalls nicht mit deiner Argumentation)
auch die rueckrichtung stimmt fuer endlich-dimensionale VR, denn seien V und W zwei VR derselben Dimension und f eine lineare Abbildung zwischen ihnen, dann ist f genau dann injektiv, wenn f surjektiv ist.
(aus injektivitaet folgt surjektivitaet und umgekehrt)
>
> zu 4) Ja, denn es gilt f: V [mm]\to[/mm] W Isomorphismus [mm]\gdw[/mm] f
> bijektiv [mm]\gdw[/mm] Die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix
> eine Basis vom Bild sind => Die Räume V und W sind dann
> isomoph.
das ist aber nicht die aussage !
Die aussage ist:
V und W sind isomorph => eine (beliebige) lineare Abbildung F ist eine Isomorphismus
(was offensichtlich falsch ist)
viele Gruesse
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 So 14.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
Zu (1): Deine Antwort stimmt, aber [mm] $\dim [/mm] V [mm] \leq \dim [/mm] W$ ist auch nur eine notwendige Bedingung und keine hinreichende.
Zu (2): Du mußt zeigen, daß es wirklich für jeden Vektorraum $V$ überhaupt einen Endomorphismus $f:V [mm] \to [/mm] V$ gibt, für den [mm] $\mathrm{Bild} [/mm] f = V$ ist (und nicht nur [mm] $\mathrm{Bild} [/mm] f [mm] \subseteq [/mm] V$). (Tip: Die einfachsten Abbildungen sind immer die besten).
Zu (3): Es sollten beide Richtungen stimmen. Vielleicht ist es einfacher, nicht über Matrizen zu argumentieren?
Zu (4): Du zeigst: "$f:V [mm] \to [/mm] W$ Isomorphismus folgt $V$ und $W$ isomorph". Gefragt war aber nach der Umkehrung! (Nicht direkt, habe die Quantoren unterschlagen). Kann man z.B. für $V = [mm] \IQ [/mm] = W$ eine lineare Abbildung finden, die nicht surjektiv ist?
EDIT: Ups, da habe ich wohl langsamer getippt als mein Vorredner 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
*g*
ich hab die mitteilung mal als Antwort gesetzt und da wir uns nicht widersprechen, kann sich der fragesteller wohl relativ sicher ueber die beiden Antworten sein.
(besser zwei gleiche Antworten als gar keine)
viele Gruesse
DaMenge
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hallo,
erstmal vielen Dank für eure Antworten.
Jetzt ans eingemachte :
> Zu (1): Deine Antwort stimmt, aber [mm]\dim V \leq \dim W[/mm] ist
> auch nur eine notwendige Bedingung und keine hinreichende.
aber wenn meine Antwort stimmt, dann muss es doch [mm] dimV\ge [/mm] dimW heißen (auch wenn es nur eine notwendige Bedingung ist). Aber was wäre denn eine hinreichende Bedingung??
> Zu (2): Du mußt zeigen, daß es wirklich für jeden
> Vektorraum [mm]V[/mm] überhaupt einen Endomorphismus [mm]f:V \to V[/mm] gibt,
> für den [mm]\mathrm{Bild} f = V[/mm] ist (und nicht nur
> [mm]\mathrm{Bild} f \subseteq V[/mm]). (Tip: Die einfachsten
> Abbildungen sind immer die besten).
DaMenge hatte mir das schon die identitätsabildung empfohlen, komm da aber leider noch nicht ganz hinter...:-(
>
> Zu (3): Es sollten beide Richtungen stimmen. Vielleicht ist
> es einfacher, nicht über Matrizen zu argumentieren?
kann da leider nicht ganz folgen, DaMenge meinte, dass die Aussage nicht gelte weil nicht gesagt ist, dass die Vektorräume endlichdimensional sind...
Aber was meinst du mit "einfacher, nicht über Matrizen zu argumentieren"??Vielleicht ein Beispiel?Wäre super!
> Zu (4): Du zeigst: "[mm]f:V \to W[/mm] Isomorphismus folgt [mm]V[/mm] und [mm]W[/mm]
> isomorph". Gefragt war aber nach der Umkehrung! (Nicht
> direkt, habe die Quantoren unterschlagen). Kann man z.B.
> für [mm]V = \IQ = W[/mm] eine lineare Abbildung finden, die nicht
> surjektiv ist?
Ja kann man zum beispiel: [mm] x\mapsto x^2 [/mm] ist nicht surjektiv! Also wäre ja damit die Aussage wiederlegt!richtig??
Aber in der aufgabe ist doch von VEKTORRÄUMEN die rede, kann ich da denn einfach [mm] \IQ [/mm] betrachten??
Bin also noch leider nicht ganz aufm Dampfer...:-(
Hoffe jemand kann mir nochmal helfen..
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Ich kann erstmal nur was zur Aufgabe 4 Beitragen:
>
> > Zu (4): Du zeigst: "[mm]f:V \to W[/mm] Isomorphismus folgt [mm]V[/mm] und [mm]W[/mm]
> > isomorph". Gefragt war aber nach der Umkehrung! (Nicht
> > direkt, habe die Quantoren unterschlagen). Kann man z.B.
> > für [mm]V = \IQ = W[/mm] eine lineare Abbildung finden, die nicht
> > surjektiv ist?
>
> Ja kann man zum beispiel: [mm]x\mapsto x^2[/mm] ist nicht surjektiv!
> Also wäre ja damit die Aussage wiederlegt!richtig??
> Aber in der aufgabe ist doch von VEKTORRÄUMEN die rede,
> kann ich da denn einfach [mm]\IQ[/mm] betrachten??
>
2 Vektorräume sind Isomorph wenn es eine bijektive lineare Abbildung (=Isomorphismus) zwischen den beiden gibt. Das ist einfach mal die Definition. Das bedeutet aber nicht, dass auch JEDE beliebige Abbildung zwischen den beiden Vektorräumen ein Isomorphismus ist. Beispiel: Die Nullabbildung. Die ist sicherlich nicht surjektiv.
Dein Beispiel x -> [mm] x^2 [/mm] ist leider nicht sehr passend weils gar keine lineare Abbildung ist. (Warum?)
Und zu [mm] \IQ: [/mm] Jeder Körper ist Vektorraum über sich selber. Aber das nur am Rande.
Viele Grüße,
Blueman
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alles klar,
> 2 Vektorräume sind Isomorph wenn es eine bijektive lineare
> Abbildung (=Isomorphismus) zwischen den beiden gibt. Das
> ist einfach mal die Definition. Das bedeutet aber nicht,
> dass auch JEDE beliebige Abbildung zwischen den beiden
> Vektorräumen ein Isomorphismus ist. Beispiel: Die
> Nullabbildung. Die ist sicherlich nicht surjektiv.
Alles klar, die Nullabbildung ist linear aber weder surjektiv noch injektiv....danke habe ich verstanden...also ist die Aussage unter Punkt 4 falsch!! Danke für die Hilfe!
Nur die anderen Teilaufgaben noch nicht...
hoffe jemand schaut mal in meinen Post vor Blueman's Antwort auf die die 4. Teilaufgabe....
viele liebe grüße, der mathedepp_No.1
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hallo???
hat niemand zeit??
viele liebe Grüße, der mathe"voll"depp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 15.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo nochmal,
> > Zu (1): Deine Antwort stimmt, aber [mm]\dim V \leq \dim W[/mm] ist
> > auch nur eine notwendige Bedingung und keine hinreichende.
>
> aber wenn meine Antwort stimmt, dann muss es doch [mm]dimV\ge[/mm]
> dimW heißen (auch wenn es nur eine notwendige Bedingung
> ist). Aber was wäre denn eine hinreichende Bedingung??
Hinreichende Bedingung ist $W =0$. Denn $f$ könnte ja alles sein, auch die Nullabbildung.
Aber die Frage ist ja (soweit ich das sehe) nur, herauszufinden, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Oder mußt Du sie auch korrigieren?
> > Zu (2): [...]
> DaMenge hatte mir das schon die identitätsabildung
> empfohlen, komm da aber leider noch nicht ganz
> hinter...:-(
Was ist denn das Bild der identischen Abbildung von $V$ nach $V$?
> > Zu (3): Es sollten beide Richtungen stimmen. Vielleicht ist
> > es einfacher, nicht über Matrizen zu argumentieren?
> [...]
(Ich gehe einfach mal davon aus, daß endlich-dimensionale Vektorräume gemeint sind). Hattet Ihr schon Aussagen über die Koordinatenabbildung? Damit geht's eigentlich am schnellsten, denn jeder (endlich-dimensionale) $K$-Vektorraum $V$ ist ja isomorph zu [mm] $K^{\dim_K V}$. [/mm] Dann mußt Du nur noch überlegen, wann [mm] $K^n$ [/mm] und [mm] $K^m$ [/mm] isomorph sind für $n$ und $m [mm] \in \IN$ [/mm] -- vielleicht hattet Ihr dafür auch schon einen Satz...
Oder Du versucht es direkt. Wenn $f : V [mm] \to [/mm] W$ ein Isomorphismus ist, was kann man dann über die Dimension von $f(V)$ im Verhältnis zu derjenigen von $W$ aussagen beziehungsweise über diejenige von [mm] $f^{-1}(W)$ [/mm] und $V$? (Erinnerung: $f(V)$ ist ein Unterraum von $W$). Wenn umgekehrt [mm] $\dim [/mm] V = [mm] \dim [/mm] W = n$ gilt, dann haben beide Räume Basen der Länge $n$. Wie kann man nun eine lineare Abbildung $V [mm] \to [/mm] W$ definieren, die injektiv und surjektiv ist (eins von beidem reicht hier)? (Tip: Lineare Abbildungen sind bereits durch die Bilder der Basiselemente eindeutig festgelegt).
> > Zu (4): [...]
Hat ja Blueman schon beantwortet.
Hoffe, das hilft.
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hallo unknown,
erstmal vielen herzlichen dank für deinen Post!!!
> > > Zu (1): Deine Antwort stimmt, aber [mm]\dim V \leq \dim W[/mm] ist
> > > auch nur eine notwendige Bedingung und keine hinreichende.
> >
> > aber wenn meine Antwort stimmt, dann muss es doch [mm]dimV\ge[/mm]
> > dimW heißen (auch wenn es nur eine notwendige Bedingung
> > ist). Aber was wäre denn eine hinreichende Bedingung??
>
> Hinreichende Bedingung ist [mm]W =0[/mm]. Denn [mm]f[/mm] könnte ja alles
> sein, auch die Nullabbildung.
>
> Aber die Frage ist ja (soweit ich das sehe) nur,
> herauszufinden, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Oder
> mußt Du sie auch korrigieren?
Nein korrigieren muss ich sie nicht, das sind nur wahr/falsch fragen.
Aber ich möchte es ja auch verstehen!!
Aber ich liege dcoh richtig hier bei 1. NEIN anzukreuzen.
Glaube ich habs jetzt verstanden.
> > > Zu (2): [...]
> > DaMenge hatte mir das schon die identitätsabildung
> > empfohlen, komm da aber leider noch nicht ganz
> > hinter...:-(
>
> Was ist denn das Bild der identischen Abbildung von [mm]V[/mm] nach
> [mm]V[/mm]?
ja das Bild der identischen Abbildung von V nach V ist doch meiner Ansicht nach GANZ V oder???Aber was sagt mir das bzgl. der Ausgangsaussage??
> > > Zu (3): Es sollten beide Richtungen stimmen. Vielleicht ist
> > > es einfacher, nicht über Matrizen zu argumentieren?
> > [...]
>
> (Ich gehe einfach mal davon aus, daß endlich-dimensionale
> Vektorräume gemeint sind). Hattet Ihr schon Aussagen über
> die Koordinatenabbildung? Damit geht's eigentlich am
> schnellsten, denn jeder (endlich-dimensionale) [mm]K[/mm]-Vektorraum
> [mm]V[/mm] ist ja isomorph zu [mm]K^{\dim_K V}[/mm]. Dann mußt Du nur noch
> überlegen, wann [mm]K^n[/mm] und [mm]K^m[/mm] isomorph sind für [mm]n[/mm] und [mm]m \in \IN[/mm]
> -- vielleicht hattet Ihr dafür auch schon einen Satz...
Nein leider hatten wir noch nichts in sachen Koordinatenabbildung...
> Oder Du versucht es direkt. Wenn [mm]f : V \to W[/mm] ein
> Isomorphismus ist, was kann man dann über die Dimension von
> [mm]f(V)[/mm] im Verhältnis zu derjenigen von [mm]W[/mm] aussagen
> beziehungsweise über diejenige von [mm]f^{-1}(W)[/mm] und [mm]V[/mm]?
ja die müssten doch dann gleich sein....
> (Erinnerung: [mm]f(V)[/mm] ist ein Unterraum von [mm]W[/mm]). Wenn umgekehrt
> [mm]\dim V = \dim W = n[/mm] gilt, dann haben beide Räume Basen der
> Länge [mm]n[/mm]. Wie kann man nun eine lineare Abbildung [mm]V \to W[/mm]
> definieren, die injektiv und surjektiv ist (eins von beidem
> reicht hier)? (Tip: Lineare Abbildungen sind bereits durch
> die Bilder der Basiselemente eindeutig festgelegt).
tut mir leid, aber ich habe anscheinend en brett vorm kopf....verstehe das noch nicht so ganz....
hilfst du mir nochmal??
viele liebe grüße, mathe"voll"depp_No.1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Mi 17.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo noch mal,
Teil (1) sieht ja schon ganz gut aus.
> > > > Zu (2): [...]
> ja das Bild der identischen Abbildung von V nach V ist doch
> meiner Ansicht nach GANZ V oder???Aber was sagt mir das
> bzgl. der Ausgangsaussage??
Naja, wenn $V$ ein beliebiger Vektorraum ist, die Identität [mm] $\mathrm{id}_V$ [/mm] von $V$ ein Endomorphismus von $V$ nach $V$ ist, und außerdem [mm] $\mathrm{Bild}\,\mathrm{id}_V [/mm] = V$ gilt, dann ist die Ausgangsaussage doch eigentlich leicht zu beantworten, oder.
> > > > Zu (3): [...]
>
> > Oder Du versucht es direkt. Wenn [mm]f : V \to W[/mm] ein
> > Isomorphismus ist, was kann man dann über die Dimension von
> > [mm]f(V)[/mm] im Verhältnis zu derjenigen von [mm]W[/mm] aussagen
> > beziehungsweise über diejenige von [mm]f^{-1}(W)[/mm] und [mm]V[/mm]?
>
> ja die müssten doch dann gleich sein....
Ja: Sei $f : V [mm] \to [/mm] W$ ein Isomorphismus. Es gilt dann (z.B. nach der Dimensionsformel) [mm] $\dim \mathrm{Bild}\,f [/mm] = [mm] \dim [/mm] V$, weil $f$ injektiv ist. Außerdem ist [mm] $\mathrm{Bild}\,f$ [/mm] ein Unterraum von $W$. Also gilt nach einem Satz [mm] $\dim\mathrm{Bild}\,f \leq \dim [/mm] W$. Es folgt [mm] $\dim [/mm] V [mm] \leq \dim [/mm] W$. Nun ist [mm] $f^{-1} [/mm] : W [mm] \to [/mm] V$ aber ja auch ein Isomorphismus. Mit den selben Argumenten bekommt man also auch [mm] $\dim [/mm] W [mm] \leq \dim [/mm] V$.
> > (Erinnerung: [mm]f(V)[/mm] ist ein Unterraum von [mm]W[/mm]). Wenn umgekehrt
> > [mm]\dim V = \dim W = n[/mm] gilt, dann haben beide Räume Basen der
> > Länge [mm]n[/mm]. Wie kann man nun eine lineare Abbildung [mm]V \to W[/mm]
> > definieren, die injektiv und surjektiv ist (eins von beidem
> > reicht hier)? (Tip: Lineare Abbildungen sind bereits durch
> > die Bilder der Basiselemente eindeutig festgelegt).
>
> tut mir leid, aber ich habe anscheinend en brett vorm
> kopf....verstehe das noch nicht so ganz....
>
> hilfst du mir nochmal??
Versuche doch mal folgendes: $V$ bzw. $W$ haben Basen [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] bzw. [mm] $w_1,\ldots,w_n$ [/mm] gleicher Länge. Definiere $f:V [mm] \to [/mm] W$ durch [mm] $f(v_j) [/mm] = [mm] w_j$, $j=1,\ldots,n$. [/mm] Es gibt einen Satz, daß diese Art der Definition die lineare Abbildung $f$ bereits eindeutig festlegt. Nun mußt Du Dir überlegen, ob $f$ injektiv und surjektiv ist. Ansatz für die Injektivität: Sei [mm] $\textstyle [/mm] v = [mm] \sum_{j=1}^n a_j v_j \in [/mm] V$ gegeben mit [mm] $a_1,\ldots,a_n \in [/mm] K$. Gilt $f(v) = 0$, so folgt [mm] $\textstyle\sum_{j=1}^n a_j f(v_j) [/mm] = 0$ usw. Für die Surjektivität sei [mm] $\textstyle [/mm] w = [mm] \sum_{j=1}^n b_j w_j \in [/mm] W$ mit [mm] $b_1,\ldots,b_n \in [/mm] K$. Wie muß man [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] linear kombinieren, um ein Urbild zu erhalten?
Ich hoffe, Du kommst damit weiter.
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hallo,
erstmal vielen Dank für die Erläuterungen, habe fast halles verstanden, dank deiner SEHR guten Erläuterungen, nur bei der Teilaufgabe 3 holpere ich noch (hinrichtung ist klar, habe ich verstanden dass dieser erfüllt ist!) nur bei der Rückrichtung:
> Versuche doch mal folgendes: [mm]V[/mm] bzw. [mm]W[/mm] haben Basen
> [mm]v_1,\ldots,v_n[/mm] bzw. [mm]w_1,\ldots,w_n[/mm] gleicher Länge.
> Definiere [mm]f:V \to W[/mm] durch [mm]f(v_j) = w_j[/mm], [mm]j=1,\ldots,n[/mm]. Es
> gibt einen Satz, daß diese Art der Definition die lineare
> Abbildung [mm]f[/mm] bereits eindeutig festlegt. Nun mußt Du Dir
> überlegen, ob [mm]f[/mm] injektiv und surjektiv ist. Ansatz für die
> Injektivität: Sei [mm]\textstyle v = \sum_{j=1}^n a_j v_j \in V[/mm]
> gegeben mit [mm]a_1,\ldots,a_n \in K[/mm]. Gilt [mm]f(v) = 0[/mm], so folgt
> [mm]\textstyle\sum_{j=1}^n a_j f(v_j) = 0[/mm] usw. Für die
> Surjektivität sei [mm]\textstyle w = \sum_{j=1}^n b_j w_j \in W[/mm]
> mit [mm]b_1,\ldots,b_n \in K[/mm]. Wie muß man [mm]v_1,\ldots,v_n[/mm] linear
> kombinieren, um ein Urbild zu erhalten?
habe das schon vom prinzip verstanden (danke) aber der zündende Geistesblitz fehlt mir leider noch...:-(
kannst du nochmal??
viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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hallo zusammen,
hoofe jemand findet sich der sich nochmal daran versucht mich bzgl. meines letzten Posts aufzuklären..bin am verzweifeln :-(
wäre wirklich super...
viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 19.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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