Lin. Approx. einer diffb. Fkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Gordon |
Hallo!
Hoffe, verstoße hiermit nicht gegen die Boardregeln wegen zu großer Penetranz : ) ...
Eine Aufgabe blieb unbeantwortet, vielleicht, weil ich sie als 2-Aufgabe zu einer gänzlich anderen gestellt habe.
Also, ich wiederhole sie mal:
f(x,y) sei eine diff´bare Funktion, die homogen vom Grad 1 ist. Zu zeigen ist, daß dann für ihre lineare Approximation t(x,y) um einen beliebigen Punkt [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] gilt : t(0,0)=0 .
Bis hierhin die Aufgabe...
Die lineare Approximation von f(x,y) um [mm] (x_{0},y_{0}) [/mm] ist
[mm] f(x_{0},y_{0})+f_{1}'(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{2}'(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) [/mm]
also Taylorpolynom 1.Grades, oder?
Würde mich freuen, wenn jemand von euch diese Aufgabe lösen könnte.
Schöne Grüsse!
Gordon
PS: Weiß nicht, wie man den Ableitungsstrich hier eingeben kann, in der oben angegebenen Formel steht an der Stelle immer ein Delta.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Gordon,
1. Was bedeutet es, wenn für alle linearen Approximationen unabhängig vom Entwicklungspunkt des Taylor-Polynoms gilt: t(0,0)=0?
2. Wie sehen diff'bare Funktionen aus, die homogen vom Grad 1 sind?
Was heißt homogen vom Grad n eigentlich?
Die Antwort auf dein Problem liegt auf der Hand, wenn du diese beiden Fragen beantworten kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 03.10.2004 | | Autor: | Gordon |
Hallo Hugo_Sanchez-Vicario,
danke für deine Antwort!
Ich probiere es mal : [mm] f(x,y)=f_{1}'(x,y)x [/mm] + [mm] f_{2}'(x,y)y [/mm] ist die Definition für eine Funktion, die homogen vom Grad 1 eins ( nach Eulers Theorem ).
In die lineare Approximation von f(x,y) setze ich für x und y jeweils 0 ein, sodass daraus folgt :
[mm] t(0,0)=f(x_{0},y_{0})+f_{1}'(x_{0},y_{0})( [/mm] 0 - [mm] x_{0}) [/mm] + [mm] f_{2}'(x_{0},y_{0})( [/mm] 0 - [mm] y_{0}) [/mm] = 0
Dies ergibt dann sofort :
[mm] f(x_{0},y_{0})=f_{1}'(x_{0},y_{0})x_{0} [/mm] + [mm] f_{2}'(x_{0},y_{0})y_{0}
[/mm]
Dies ist total analog obiger Gleichung ( Eulers Theorem mit Homogenität v.Grad 1 )
Ist das denn alles richtig?
Danke für die Antwort!
Gordon
PS: Wenn das hier stimmt, wirst du auf jeden Fall ein guter Lehrer 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 So 03.10.2004 | | Autor: | hubedidup |
Naja du hast b => a gezeigt, solltest aber a => b. Ist aber das ganze nur in grün.
Gruß Ralf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Gordon!
Da ich mir immer noch nicht sicher sein kann, dass du die Aufgabe verstanden hast, löse ich sie mal komplett für dich.
Nach dem Euler-Theorem für homogene Funktionen $f$ vom Grad $1$ gilt:
(*) [mm] $f(x_0,y_0) [/mm] = [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot x_0+ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot y_0$.
[/mm]
Nun gilt für die lineare Approximation $t(x,y)$ einer homogenen Funktion $f(x,y)$ vom Grad $1$ im Punkte [mm] $(x_0,y_0)$:
[/mm]
$t(x,y)$
$= [mm] f(x_0,y_0) [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)+ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot (y-y_0)$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(\*)}{=} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot x_0 [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot y_0+ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot (x-x_0)+ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot (y-y_0)$
[/mm]
$= [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot [/mm] x+ [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot [/mm] y$,
also:
$t(0,0) = [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot [/mm] 0+ [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot [/mm] 0 = 0$.
Ist jetzt alles klar?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Gordon |
Hallo Julius!
Danke für deine Antwort!
Du hast Recht, richtig klar ist mir die Lösung der Aufgabe nicht geworden - war denn meine falsch, und wenn, an welcher Stelle?
Zu deiner Lösung habe ich eine Frage:
Trotz mehrmaligem Durchlesens verstehe ich den Schritt von
der drittletzten zur vorletzten Zeile nicht - sorry, ich bekomme deine schöne Darstellung nicht hin( vor allem die mt dem Bruchstrich) - also, in
der sich bei dir so vieles "auflöst" , bevor du also (0,0) einsetzt.
Müsste - nach meiner Schreibweise - nicht
[mm] f_{1}'(x_{0},y_{0})(1-x_{0}) [/mm] + [mm] f_{2}'(x_{0},y_{0})(1-y_{0}) [/mm] "mehr" da stehen, oder warum fällt das komplett weg?
Danke dir !!
Gordon
PS: Vermutlich nur ein Wiedergabefehler. du meinst sicherlich ( [mm] x-x_{0}) [/mm] statt [mm] (x-y_{0}) [/mm] ( 2 mal )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Hallo Julius!
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> Danke für deine Antwort!
>
> Du hast Recht, richtig klar ist mir die Lösung der Aufgabe
> nicht geworden - war denn meine falsch, und wenn, an
> welcher Stelle?
Du bist von der Behauptung ausgegangen $t(0,0)=0$ und hast diese dann plausibilisiert. Stattdessen hättest du aber auf $t(0,0)=0$ schließen müssen.
> Zu deiner Lösung habe ich eine Frage:
>
> Trotz mehrmaligem Durchlesens verstehe ich den Schritt von
>
> der drittletzten zur vorletzten Zeile nicht - sorry, ich
> bekomme deine schöne Darstellung nicht hin( vor allem die
> mt dem Bruchstrich) - also, in
> der sich bei dir so vieles "auflöst" , bevor du also (0,0)
> einsetzt.
>
> Müsste - nach meiner Schreibweise - nicht
>
> [mm]f_{1}'(x_{0},y_{0})(1-x_{0})[/mm] + [mm]f_{2}'(x_{0},y_{0})(1-y_{0})[/mm]
> "mehr" da stehen, oder warum fällt das komplett weg?
>
> Danke dir !!
>
> Gordon
>
> PS: Vermutlich nur ein Wiedergabefehler. du meinst
> sicherlich ( [mm]x-x_{0})[/mm] statt [mm](x-y_{0})[/mm] ( 2 mal )
Es war ein Tippfehler, ja. Vielen Dank für den Hinweis!
Ist denn jetzt alles klar?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Gordon |
Hallo Julius!
Danke, also war "nur" die Richtung bei mir falsch!?
Bist leider nicht auf meine Hauptfrage eingegangen, auch jetzt verstehe ich
diesen Lösungsschritt noch nicht :-(
Bei mir bleibt immer zu der Gleichung, die du geschrieben hast, die Summe
der beiden partiellen Ableitungen stehen, die ich in meinem letzten Text geschrieben habe.
Vielleicht kannst du ja nochmal draufschauen.
Danke
Gordon
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f homogen vom Grad n heißt:
[mm]f(c\cdot\vec{v})=c^n\cdot f(\vec{v})[/mm] mit [mm]\vec{v}=(x_1,x_2,\dots)[/mm].
Hier heißt es, dass [mm]f(cx,cy)=c\cdot f(x,y)[/mm].
Dieser Zusammenhang bedeutet, dass der Funktionsgraph (das ist hier eine Fläche) durch Ursprungsgeraden erzeugt wird, denn:
[mm]f(c\cdot x_0, c\cdot y_0)=c\cdot f(x_0,y_0)[/mm], also folgt aus
[mm]P=(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\in G_f[/mm] dann [mm]c\cdot P=(c\cdot x_0,c\cdot y_0, c\cdot f(x_0,y_0))\in G_f[/mm].
Eine Gerade in der Tangentialebene (die bekanntlich durch das erste Taylor-Polynom beschrieben wird) geht somit durch den Ursprung, deshalb muss t(0,0)=0 sein.
PS: Für jede homogene Funktion ist außerdem f(0,0)=0.
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