Lin. Diff. Gl. 2.Ord. Konst Ko < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Fr 07.08.2009 | | Autor: | LowBob |
| Aufgabe | Lösen Sie mit Hilfe des Laplace formalismus
[mm] y''-{y}'=e^t\*cost
[/mm]
y(0)=y'(0)=0 |
Hallo,
ich habe für [mm] Y(s)=\bruch{1}{s^4-3s^3-2s}
[/mm]
Als Reelle Nullsstelle habe ich
[mm] S_1=0 [/mm] gefunden^^
bei [mm] S_2=3,196 [/mm] verbirgt sich eine zweite
Wegen [mm] s^4 [/mm] gibt es ja 4 Nullstellen. Muss ich für jede Komplexe Nullstelle einen Bruch aufstellen?
Gruß
Bob
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Hallo LowBob,
> Lösen Sie mit Hilfe des Laplace formalismus
>
> [mm]y''-{y}'=e^t\*cost[/mm]
>
> y(0)=y'(0)=0
> Hallo,
>
> ich habe für [mm]Y(s)=\bruch{1}{s^4-3s^3-2s}[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> Als Reelle Nullsstelle habe ich
> [mm]S_1=0[/mm] gefunden^^
> bei [mm]S_2=3,196[/mm] verbirgt sich eine zweite
>
> Wegen [mm]s^4[/mm] gibt es ja 4 Nullstellen. Muss ich für jede
> Komplexe Nullstelle einen Bruch aufstellen?
>
Das kannst Du, musst aber nicht.
>
> Gruß
>
> Bob
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 07.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Ok,
nun habe ich für [mm] Y(s)=\bruch{s-1}{s^4-3s^3-2s}
[/mm]
Dennoch bleibt das Problem mit der "ekligen" Nullstelle.
Da es nur zwei reelle Nullstellen gibt reicht es also für den Partialbruch
[mm] \bruch{A}{s}+\bruch{B}{s-3,196} [/mm] zu schreiben???
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Fr 07.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LowBob!
Ich weiß nicht, was Du wie rechnest. Aber ich erhalte für den Nenner folgende 4 reellen und "uneklige" Nullstellen:
[mm] $$x_1 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$x_2 [/mm] \ = \ 2$$
[mm] $$x_{3/4} [/mm] \ = \ -1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Fr 07.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Da haben wir was gemeinsam 
Ich weiß nämlich auch nicht was du rechnest. Leider...
Ich habe die Funktion in nen Plotter gehauen und dadurch die zwei genannten Nullstellen bekommen.
Aber ich versuchs mal anders: s ausklammern
[mm] s(s^3-3s^2-2)=0 [/mm] Daraus folgt s=0 [mm] oder(s^3-3s^2-2)=0
[/mm]
Kannst du mir bitte erklären wie du da hin kommst? Denn mein Taschenrechner gibt für deine Nullstellen nicht null aus. Oder habe ich Lücken in meinem Basiswissen?
Hiiillllffffeeeee!!!! Ich bekomm heute nichts auf die Reihe...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Fr 07.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LowBob!
Beachte auch MathePower's Antwort ...
Aber Dein Basiswissen scheint wirklich Lücken zu haben, da Du nicht korrekt ausklammerst. Es gilt:
[mm] $$s^4-3s^2-2s [/mm] \ = \ [mm] s*\left(s^3-3s-2\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Fr 07.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Entschuldige Loddar,
da ist mir ein falscher Exponent rein geraten. Es ist ein [mm] s^3 [/mm] nicht [mm] s^2.
[/mm]
Ich habe die ganze Entwicklung unten nochmal gepostet...
Gruß
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Hallo LowBob,
> Ok,
>
> nun habe ich für [mm]Y(s)=\bruch{s-1}{s^4-3s^2-2s}[/mm]
Nach meiner Rechnung kommt hier etwas anderes heraus:
[mm]\mathcal{L}\left(y''\right)-\mathcal{L}\left(y'\right)=\mathcal{L}\left( \ e^{t}*\cos\left(t\right) \ \right)[/mm]
Auf der linken Seite wendet man nun den Differentiationssatz an,
die Laplace-Transformierte der rechten Seite entnimmt man einer
Tabelle oder berechnet diese mit dem Faltungsintegral.
>
> Dennoch bleibt das Problem mit der "ekligen" Nullstelle.
>
> Da es nur zwei reelle Nullstellen gibt reicht es also für
> den Partialbruch
>
> [mm]\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s-3,196}[/mm] zu schreiben???
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 07.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo Mathepower,
Mit dem Ansatz: [mm] [s^2\*Y(s)-s\*y(0)-y'(0)]+a\*[s\*Y(s)-y(0)]+b\*Y(0)=F(s)
[/mm]
und y(0)=y'(0)=0; a=(-1); b=0
[mm] [s^2\*Y(s)]+a\*[s\*Y(s)]=F(s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}+1}
[/mm]
also [mm] s^2\*Y(s)-s\*Y(s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}+1}
[/mm]
[mm] Y(s)\*(s^2-s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}+1}
[/mm]
[mm] Y(s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}+1}\*\bruch{1}{(s^2-s)}
[/mm]
[mm] Y(s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}\*(s^2-s)+(s^2-s)}
[/mm]
und daraus habe ich dann [mm] Y(s)=\bruch{s-1}{s^4-3s^3-2s} [/mm] gemacht.
Hoffe nicht, dass das falsch ist...
EDIT: Ist es aber.
[mm] Y(s)=\bruch{s-1}{s^4-3s^3+4s^2-2s}
[/mm]
Nur wie mache ich daraus nun wieder eine Originalfunktion?
Und damit wären wir wieder bei meiner Ausgangsfrage mit der Partialbruchzerlegung...
Oder hat jemand eine andere Idee?
Gruß
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Hallo LowBob,
> Hallo Mathepower,
>
> Mit dem Ansatz:
> [mm][s^2\*Y(s)-s\*y(0)-y'(0)]+a\*[s\*Y(s)-y(0)]+b\*Y(0)=F(s)[/mm]
> und y(0)=y'(0)=0; a=(-1); b=0
>
> [mm][s^2\*Y(s)]+a\*[s\*Y(s)]=F(s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}+1}[/mm]
>
> also [mm]s^2\*Y(s)-s\*Y(s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]Y(s)\*(s^2-s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]Y(s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}+1}\*\bruch{1}{(s^2-s)}[/mm]
>
> [mm]Y(s)=\bruch{s-1}{(s-1)^{2}\*(s^2-s)+(s^2-s)}[/mm]
>
> und daraus habe ich dann [mm]Y(s)=\bruch{s-1}{s^4-3s^3-2s}[/mm]
> gemacht.
>
> Hoffe nicht, dass das falsch ist...
>
> EDIT: Ist es aber.
> [mm]Y(s)=\bruch{s-1}{s^4-3s^3+4s^2-2s}[/mm]
Ok, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nur wie mache ich daraus nun wieder eine Originalfunktion?
>
> Und damit wären wir wieder bei meiner Ausgangsfrage mit
> der Partialbruchzerlegung...
Nun, bei genauerer Betrachtung ist s=1,
Nullstelle sowohl im Zähler als auch im Nenner.
> Oder hat jemand eine andere Idee?
[mm]Y(s)=\bruch{s-1}{s^4-3s^3+4s^2-2s}=\bruch{s-1}{\left(s-1\right)*\left(s^{3}-2*s^{2}+2*s\right)}=\bruch{1}{s^{3}-2*s^{2}+2*s\right}[/mm]
Dann ist
[mm]\bruch{1}{s^{3}-2*s^{2}+2*s\right}=\bruch{A}{s}+\bruch{B*s+C}{s^{2}-2*s+2}[/mm]
Und von der rechten Seite kannst Du die Originalfunktion bilden.
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Sa 08.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Vielen Dank MathePower!
Gestern Hab ich echt nur Mist gebaut bei meinen Berechnungen...
Ich hoffe heut wird es besser!
Ich wollte wissen, ob es stimmt, dass man nicht für jede Nullstelle, also Reelle und Komplexe, einen Summanden in der Partialbruchzerlegung bilden muss.
Also wenn man z.B. nur Eine Nullstelle im Reellen hat, die Funktion aber 4.Grades ist: [mm] A/x-x_0 [/mm] + Bx+C/Rest oder muss man dann auch noch einen Summanden für D aufstellen?
Und wenn ja, wie macht man das für komplexe Nullstellen.
Ich wollte noch sagen, dass ich versucht habe mir das mittels Literatur anzueignen aber leider bin ich daraus nicht schlau geworden...
Gruß
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Hallo LowBob,
> Vielen Dank MathePower!
>
> Gestern Hab ich echt nur Mist gebaut bei meinen
> Berechnungen...
>
> Ich hoffe heut wird es besser!
>
> Ich wollte wissen, ob es stimmt, dass man nicht für jede
> Nullstelle, also Reelle und Komplexe, einen Summanden in
> der Partialbruchzerlegung bilden muss.
>
> Also wenn man z.B. nur Eine Nullstelle im Reellen hat, die
> Funktion aber 4.Grades ist: [mm]A/x-x_0[/mm] + Bx+C/Rest oder muss
> man dann auch noch einen Summanden für D aufstellen?
>
> Und wenn ja, wie macht man das für komplexe Nullstellen.
>
Für jede Nullstelle schreibt man einen Partialbruch.
[mm]\bruch{1}{\left(x-x_{0}\right)*\left(x-x_{1}\right)*\left(x-x_{2}\right)*\left(x-x_{3}\right)}[/mm]
Sind alle Nullstellen [mm]x_{i}[/mm] verschieden, so macht man den Ansatz:
[mm]\bruch{1}{\left(x-x_{0}\right)*\left(x-x_{1}\right)*\left(x-x_{2}\right)*\left(x-x_{4}\right)}=\bruch{A}{x-x_{0}}+\bruch{B}{x-x_{1}}+\bruch{C}{x-x_{2}}+\bruch{D}{x-x_{3}}[/mm]
Das ist jetzt unabhängig davon ob die Nullstellen reell oder komplex sind.
Sind komplexe Nullstellen dabei, so faßt man die zwei zugehörigen Partialbrüche zu einem zusammen, z.B [mm]x_{2}, \ x_{3} \in \IC[/mm]:
[mm]\bruch{C}{x-x_{2}}+\bruch{D}{x-x_{3}}=\bruch{E*x+F}{x^{2}-\left(x_{2}+\overline{x_{2}\right)*x+x_{2}*\overline{x_{2}}}[/mm]
,da gilt [mm]x_{3}=\overline{x_{2}}[/mm]
Damit vermeidet man die komplexe Rechnung.
> Ich wollte noch sagen, dass ich versucht habe mir das
> mittels Literatur anzueignen aber leider bin ich daraus
> nicht schlau geworden...
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Sa 08.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo!
Ich bekomme den Partialbruch leider nicht zurück in die Originalform überführt.
>
> [mm]\bruch{1}{s^{3}-2*s^{2}+2*s\right}=\bruch{A}{s}+\bruch{B*s+C}{s^{2}-2*s+2}[/mm]
>
> Und von der rechten Seite kannst Du die Originalfunktion
> bilden.
Ich habe für A=0,5 ; B=-0,5 ; C=1 Stimmt das?
Aus A habe ich dann [mm] f_A(t)=1/2 [/mm] und aus C [mm] f_C(t)=e^t\*sin(t)
[/mm]
Nur hiermit kann ich leider nichts anfangen... [mm] \bruch{s}{2\*(s^{2}-2*s+2)}
[/mm]
Gruß
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Hallo LowBob,
> Hallo!
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> Ich bekomme den Partialbruch leider nicht zurück in die
> Originalform überführt.
>
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{s^{3}-2*s^{2}+2*s\right}=\bruch{A}{s}+\bruch{B*s+C}{s^{2}-2*s+2}[/mm]
> >
> > Und von der rechten Seite kannst Du die Originalfunktion
> > bilden.
>
> Ich habe für A=0,5 ; B=-0,5 ; C=1 Stimmt das?
Ja, das stimmt.
>
> Aus A habe ich dann [mm]f_A(t)=1/2[/mm] und aus C
> [mm]f_C(t)=e^t\*sin(t)[/mm]
>
> Nur hiermit kann ich leider nichts anfangen...
> [mm]\bruch{s}{2\*(s^{2}-2*s+2)}[/mm]
Nun, schreibe
[mm]s^{2}-2*s+2=\left(s-1\right)^{2}+1[/mm]
Nun gibt es zu den Unterfunktionen
[mm]\bruch{1}{\left(s-1\right)^{2}+1}, \ \bruch{s-1}{\left(s-1\right)^{2}+1}[/mm]
entsprechende Oberfunktionen.
Zerlege demnach
[mm]\bruch{B*s+C}{s^{2}-2*s+2}=\alpha*\bruch{1}{\left(s-1\right)^{2}+1}+\beta*\bruch{s-1}{\left(s-1\right)^{2}+1}[/mm]
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Sa 08.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo!
Oh, so einfach... Da sieht man wieder mein mathematisches Verständnis...
Vielen Dank!
Kann ich einen von euch für meine Klausur anheuern?
Gruß
Bob
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