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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lin. GLS mit 3 Variablen
Lin. GLS mit 3 Variablen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lin. GLS mit 3 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 So 08.03.2009
Autor: tedd

Aufgabe
Für welche Werte des Parameters t ist das Gleichungssystem
[mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 3 & t \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10 \\ 28 \\ 12 \end{bmatrix} [/mm]
eindeutig lösbar? Bestimmen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems.

Also ich habe so angefangen:

[mm] \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 3 & t \end{matrix} \vline \begin{matrix} 10 \\ 28 \\ 12 \end{matrix} [/mm]

[mm] \xrightarrow{4*Z1-Z2}\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 3 & t \end{matrix} \vline \begin{matrix} 10 \\ -12 \\ 12 \end{matrix} [/mm]

[mm] \xrightarrow{Z2+Z3}\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & t-6 \end{matrix} \vline \begin{matrix} 10 \\ -12 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

Für [mm] t\not=6 [/mm] ist das GLS nie Lösbar!


Für t=6:

Z2 : 2 Unbekannte
y=s:
-3y-6z=-12
[mm] \gdw [/mm] -6z=-12+3y
[mm] \gdw z=2-\bruch{1}{2}y=2-\bruch{1}{2}*s [/mm]

Z1 :
x+2y+3z=10
x=10-2y-3z
[mm] x=10-2s-3*(2-\bruch{1}{2}s) [/mm]
[mm] x=10-2s-6+\bruch{3}{2}s [/mm]
[mm] x=4-\bruch{1}{2}s [/mm]

[mm] \IL=\left\{\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{4-\bruch{1}{2}*s \\ s \\ 2-\bruch{1}{2}*s}\vline s\in\IR\right\} [/mm]

[mm] =\left\{\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{4 \\ 0 \\ 2}+s*\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ -\bruch{1}{2}}\vline s\in\IR\right\} [/mm]

Ist das richtig so?
woher weis ich genau, dass s [mm] \in \IR [/mm] ist. bzw. wann wäre s [mm] \not\in\IR [/mm] ?

Danke und Gruß,
tedd :-)

        
Bezug
Lin. GLS mit 3 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 So 08.03.2009
Autor: MathePower

Hallo tedd,

> Für welche Werte des Parameters t ist das Gleichungssystem
>  [mm]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 3 & t \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10 \\ 28 \\ 12 \end{bmatrix}[/mm]
>  
> eindeutig lösbar? Bestimmen Sie die Lösung dieses
> Gleichungssystems.
>  Also ich habe so angefangen:
>  
> [mm]\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 3 & t \end{matrix} \vline \begin{matrix} 10 \\ 28 \\ 12 \end{matrix}[/mm]
>  
> [mm]\xrightarrow{4*Z1-Z2}\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 3 & t \end{matrix} \vline \begin{matrix} 10 \\ -12 \\ 12 \end{matrix}[/mm]
>  
> [mm]\xrightarrow{Z2+Z3}\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & t-6 \end{matrix} \vline \begin{matrix} 10 \\ -12 \\ 0 \end{matrix}[/mm]
>  
> Für [mm]t\not=6[/mm] ist das GLS nie Lösbar!
>  


Irrtum, fuer [mm]t \not= 6 [/mm] ist das  GLS eindeutig lösbar.


>
> Für t=6:
>  
> Z2 : 2 Unbekannte
>  y=s:
>  -3y-6z=-12
>  [mm]\gdw[/mm] -6z=-12+3y
>  [mm]\gdw z=2-\bruch{1}{2}y=2-\bruch{1}{2}*s[/mm]
>  
> Z1 :
>  x+2y+3z=10
>  x=10-2y-3z
>  [mm]x=10-2s-3*(2-\bruch{1}{2}s)[/mm]
>  [mm]x=10-2s-6+\bruch{3}{2}s[/mm]
>  [mm]x=4-\bruch{1}{2}s[/mm]
>  
> [mm]\IL=\left\{\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{4-\bruch{1}{2}*s \\ s \\ 2-\bruch{1}{2}*s}\vline s\in\IR\right\}[/mm]
>  
> [mm]=\left\{\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{4 \\ 0 \\ 2}+s*\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ -\bruch{1}{2}}\vline s\in\IR\right\}[/mm]
>  
> Ist das richtig so?


Ja, die Lösung für t=6 ist richtig. [ok]


>  woher weis ich genau, dass s [mm]\in \IR[/mm] ist. bzw. wann wäre s
> [mm]\not\in\IR[/mm] ?


Aus der Aufgabe ist nicht ersichtlich, daß [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3}[/mm] ist.

Gewöhnlich löst man ein Gleichungssystem über [mm]\IR^{n}[/mm].
Es sei denn, aus der Aufgabe geht was anderes hervor.


>  
> Danke und Gruß,
>  tedd :-)


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lin. GLS mit 3 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 So 08.03.2009
Autor: tedd


> Hallo tedd,
>  
>
> Irrtum, fuer [mm]t \not= 6[/mm] ist das  GLS eindeutig lösbar.

Ouch stimmt!

Für [mm] t\not=6 [/mm] ist z=0

Z2: -3*y-6*z=-12
[mm] \gdw [/mm] -3*y-0=-12
[mm] \gdw [/mm] y=4

Z1: 1*x+2*y+3*z=10
[mm] \gdw [/mm] x+8+0=10
[mm] \gdw [/mm] x=2

> Gruß
>  MathePower

Gruß,
tedd

Bezug
                        
Bezug
Lin. GLS mit 3 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 So 08.03.2009
Autor: MathePower

Hallo tedd,

> > Hallo tedd,
>  >  
> >
> > Irrtum, fuer [mm]t \not= 6[/mm] ist das  GLS eindeutig lösbar.
>  
> Ouch stimmt!
>  
> Für [mm]t\not=6[/mm] ist z=0
>  
> Z2: -3*y-6*z=-12
>  [mm]\gdw[/mm] -3*y-0=-12
>  [mm]\gdw[/mm] y=4
>  
> Z1: 1*x+2*y+3*z=10
>  [mm]\gdw[/mm] x+8+0=10
>  [mm]\gdw[/mm] x=2


Jetzt stimmt auch das. [ok]


>  
> > Gruß
>  >  MathePower
>
> Gruß,
>  tedd


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Lin. GLS mit 3 Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:02 So 08.03.2009
Autor: tedd

Super!
Danke MathePower. :-)

Gruß,
tedd

Bezug
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