Lin. Isom, Abb.matrix, Basis < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $\phi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ [/mm] lineare Isometrie mit [mm] $\det \phi [/mm] = 1$, [mm] $x_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$, $x_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$, $\phi(x_1) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\phi(x_2) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix}$.
[/mm]
Gesucht: Drehachse, Drehebene, Drehwinkel, ONB $B$ so, dass [mm] $D_{BB}(\phi)$ [/mm] Normalform hat.
Lösung: Drehebene $U$ wird durch [mm] $\phi(x_1) [/mm] - [mm] x_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\phi(x_2) [/mm] - [mm] x_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ [/mm] aufgespannt, Drehachse ist orthogonale Komplement: $a = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ [/mm] ist Basisvektor.
Für den Drehwinkel, berechne [mm] $\tilde{b_2} [/mm] = [mm] x_1 [/mm] - [mm] \frac{\langle x_1, a \rangle}{\langle a, a \rangle} [/mm] a = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}$, $\phi(\tilde{b_2}) [/mm] = [mm] \hdots [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}. [/mm] Also ergibt sich der Drehwinkel durch [mm] $\cos \Phi [/mm] = [mm] \frac{\langle \tilde{b_2}, \phi(\tilde{b_2}) \rangle}{\lVert \tilde{b_2} \rVert \lVert \phi(\tilde{b_2}) \rVert}$, $\Phi [/mm] = [mm] \frac{\pi}{3}$.
[/mm]
Die ONB baut man sich nun aus $a$, [mm] $\tilde{b_2}$ [/mm] und [mm] $\phi(\tilde{b_2})$ [/mm] zusammen (orthogonieren und normieren), dann hat die Abbildungsmatrix die Gestalt [mm] $D_{BB}(\phi) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \Phi & -\sin \Phi \\ 0 & \sin \Phi & \cos \Phi\end{pmatrix}$. [/mm] |
Hi,
ich habe diese Aufgabe im Tutorium vorgerechnet bekommen, verstehe die Wahl der Basis aber nicht. Woher weiß ich, dass das mit dem Winkel klappt?
Angenommen, ich würde in der Aufgabe eine ONB aus $a$, [mm] $\phi(x_1) [/mm] - [mm] x_1$ [/mm] und [mm] $\phi(x_2) [/mm] - [mm] x_2$ [/mm] bauen; wie sehe meine Abbildungsmatrix dann aus? Oder wenn ich in der ONB, wie in der Lösung gewählt, [mm] $\tilde{b_2}$ [/mm] und [mm] $\phi(\tilde{b_2})$ [/mm] vertauschen würde? Das würde beides zu anderen Abbildungsmatrizen führen(?), also zu einem anderen Winkel im Drehkästchen. Wieso klappt das mit dem Winkel genau mit der Basis, die in der Aufgabe gewählt wird?
Vielen Dank für Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 25.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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