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Hallo ich hätte paar Fragen zu einer Aufgabe. Die Lösung hab ich aber weis nicht genau wie er darauf kommt.
Aufgabe) Konstruieren Sie auf Basis der Sinus-Funktion durch entsprechende lineare Transformationen eine reelle Funktion f: R->R mit folgenden Eigenschaften:
* f ist periodisch mit der primitiven Periode 4
* f hat bei x=2 ein Maximum mit dem Funktionswert f(2)=8
* Bei den Minima nimmt f den Funktionswert 2 an.
LÖSUNG ist : y= [mm] 3sin(\bruch{2\pi}{4}*(x-1))+5 [/mm]
Meine Lösung: Starte mit y=sin(x). d.h die Funktion hat die primitive Periode [mm] 2\pi. [/mm] Skaliere horizontal mit dem Faktor [mm] \bruch{2\pi}{4}x. [/mm] Dann hat die Funktion [mm] y=sin(\bruch{2\pi}{4}x) [/mm] die gewünschte Periode. NUN komme ich nicht mehr weiter. PLEASE HELP!!!!!!!!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo xErsanx23,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Aufgabe) Konstruieren Sie auf Basis der Sinus-Funktion
> durch entsprechende lineare Transformationen eine reelle
> Funktion f: R->R mit folgenden Eigenschaften:
> * f ist periodisch mit der primitiven Periode 4
> * f hat bei x=2 ein Maximum mit dem Funktionswert f(2)=8
> * Bei den Minima nimmt f den Funktionswert 2 an.
>
LÖSUNG ist : [mm]y= 3sin(\bruch{2\pi}{4}*(x-1))+5[/mm]
>
> Meine Lösung: Starte mit y=sin(x). d.h die Funktion hat die
> primitive Periode [mm]2\pi.[/mm] Skaliere horizontal mit dem Faktor
> [mm]\bruch{2\pi}{4}x.[/mm] Dann hat die Funktion
> [mm]y=sin(\bruch{2\pi}{4}x)[/mm] die gewünschte Periode.
> NUN komme ich nicht mehr weiter. PLEASE HELP!!!!!!!!!!!
Kümmern wir uns mal um den Faktor 3 und den Summanden 5.
Die "normale" Sinus-Funktion pendelt doch zwischen -1 und +1, d.h. der Unteschied zwischen Maximalwert und Minimalwert beträgt: +1 - (-1) = 2.
In unserer Aufgabe beträgt diese Differenz: 8 - 2 = 6.
Um die Sinusfunktion also auf die gewünschte Form zu strecken, benötigen wir den Faktor 6 / 2 = 3. Damit haben wir unseren Faktor 3 vor dem sin.
Nun würde unsere Funktion $y = 3 * [mm] sin(\bruch{2\pi}{4}x)$ [/mm] aber zwischen den Werte -3 und +3 pendeln.
Der Minimalwert soll aber +2 betragen. Daher heben wir die gesamte Funktion um den Summanden +5 an (Parallelverschiebung).
Denn: (+2) - (-3) = 2 + 3 = 5!!
Wir haben also nun: $y = 3 * [mm] sin(\bruch{2\pi}{4}x) [/mm] + 5$
Kommen wir zum letzten Punkt.
Wir wissen von der "normalen" Sinus-Funktion, daß sie ihr (erstes) Maximum bei [mm] $x_{max} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] hat.
Wir wollen aber ein Maximum bei [mm] $x_E [/mm] = 2$.
Wir müssen nun also eine sog. "Phasenverschiebung" (horizontale Verschiebung der Sinus-Funktion) erzeugen.
Es muß also gelten:
[mm] $\bruch{2 \pi}{4}*x_E [/mm] + p = [mm] \bruch{\pi}{2}*2 [/mm] + p = [mm] \pi [/mm] + p = [mm] \bruch{\pi}{2}$
[/mm]
Umgeformt: $p = - [mm] \bruch{\pi}{2}$
[/mm]
Wenn wir das nun einsetzen in unsere Funktion und noch [mm] $\bruch{\pi}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi}{4}$ [/mm] ausklammern, erhalten wir unsere gewünschte Funktion:
[mm]y = 3 * sin[\bruch{2\pi}{4}*(x-1)] + 5[/mm]
Falls irgendwelche Zwischenschritte unklar sind, einfach melden ...
Grüße Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Do 23.12.2004 | | Autor: | xErsanx23 |
Danke Loddar für die schneller Bearbeitung der Aufgabe. Echt SUPER!!! Also echt ein geiles Forum muss ich schon hier erwähnen. Meine nächste Frage bezieht sich auf die gleiche Aufgabenstellung. Wollte nur wissen ob ich richtig denke. Hab die Aufgabe nach deiner Erklärung nach gelöst.
AUFGABE:
Gegeben ist eine reelle Funktion f(x) mit der primitiven Periode 4. Die Funktion hat an der Stelle x=0 ein absolutes Maximum mit f(0)=3 und an der Stelle x=3 ein absolutes Minimum mit f(3)=0.
Erzeugen Sie mit Hilfe von linearen Koodinatentransfomationen aus der Funktion f(x) eine Funktion g(x) mit folgenden Eigenschaften (es gibt zwei Lösungen, finden Sie eine!)
* g(x) hat die primitive Periode 8
* g(x) hat an der Stelle x=1 ein absolutes Maximum mit g(1)=6 und
* g(x) hat an der Stelle x=3 ein absolutes Minimum mit g(3)=0.
LÖSUNG:
primitive Periode von f(x) durch primitive Periode g(x) => [mm] \bruch{4}{8} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] g(x)=f(\bruch{1}{2}x)
[/mm]
f(x) maximum-minimum= 3-0=3
g(x)maximum-minimum= 6-0=6
=> [mm] \bruch{6}{3}=2
[/mm]
[mm] g(x)=2*f(\bruch{1}{2}x)
[/mm]
Max. von f(x) ist bei x=0 wir wollen aber Max. bei x=1
demzufolge: [mm] x_{e}+p=1+p= [/mm] p=-1
=> g(x)= 2* [mm] f(\bruch{1}{2}*(x-1))
[/mm]
Das ist jetzt meine Lösung. Die Stimmt fast mit der Lösung vom Prof überein. Seine Lösung: g(x)= [mm] 2*f(-\bruch{1}{2}*(x-1))
[/mm]
Frage mich wie er auf die [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] kommt.
Bedanke mich schon im Voraus für Eure Hilfe. DANKE
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Hhhhm ...
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
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