Lin. Sys. mit schiefsym Matrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Asnnah |
| Aufgabe | | Wenn [mm] A\in M_n(\IR) [/mm] schiefsymmetrisch ist, dann verläuft jede Lösung von y'=Ay auf einer Sphäre um y=0 |
Ich habe mich zwar bereits ausgiebig mit der Aufgabe beschäftigt, komme jedoch auf keinen Ansatz. Ich weiß wie die Matrix aussieht, ich kenn den Satz zur Hauptvektorbasis und ich weiß, dass detA=0 für n ungerade und [mm] detA=a^2 [/mm] für n gerade. Doch mir fehlt der springende Punkt. Vlt. könnt ihr mich zu diesem Punkt bringen. Danke im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Der Trick dürfte wohl sein, dass alle Eigenwerte von $A$ in [mm] $i\IR$ [/mm] liegen. Außerdem ist $A$ diagonalisierbar, es gibt also eine Matrix [mm] $S\in\mathrm{GL}(n,\IC)$ [/mm] und eine Diagonalmatrix [mm] $D=\pmat{i\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&i\lambda_n}$ [/mm] - wobei [mm] $\lambda_1\dots,\lambda_n\in\IR$ [/mm] - so dass die Fundamentalmatrix des Gleichungssystems gerade [mm] $e^{At}=S\pmat{e^{i\lambda_1t}&&\\&\ddots&\\&&e^{i\lambda_n t}}S^{-1}$ [/mm] ist.
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Asnnah |
Das ist sehr gut! Ich glaube da ich weiß, dass wenn eine Matrix A schiefsymmetrisch ist, also gilt: [mm] A^{T}=A^{-1}, [/mm] dann ist sie auch eine orthogonale Matrix. Und wenn ich jetzt noch zeigen kann, dass [mm] S*(e^{t})*D*S^{-1} [/mm] eine Orthonormalmatrix ist, dann sind auch die Basisvektoren bzgl dieser Matrix normiert und da diese den Lösungsraum aufspannen, liegen alle Lösungen auf der Sphäre um 0 mit der Länge eins oder?
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Hallo,
> Das ist sehr gut! Ich glaube da ich weiß, dass wenn eine
> Matrix A schiefsymmetrisch ist, also gilt: [mm]A^{T}=A^{-1},[/mm]
> dann ist sie auch eine orthogonale Matrix.
Deine Definition von schiefsymmetrisch ist leider nicht richtig. Es gilt: [mm] $A^T=-A$.
[/mm]
Was allerdings tatsächlich richtig ist: [mm] $S^H=S^{-1}$, [/mm] $S$ ist also eine unitäre Matrix.
Gruß, banachella
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