Lin. Unabh. Expofunktionen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien [mm] c_1, c_2, c_3 \in \IR. [/mm] Zeige, dass die Exponentialfunktionen [mm] e^{c_1x}, e^{c_2x} [/mm] und [mm] e^{c_3x} [/mm] linear unabhängig sind. |
Hallo,
um zu beweisen, dass Funktionen linear unabhängig sind, muss man zeigen, dass die Koeffizienten in der linearen Kombination alle Null sind. Also praktisch folgendes:
[mm] a*e^{c_1x} [/mm] + [mm] b*e^{c_2x} [/mm] + [mm] c*e^{c_3x} [/mm] = 0 (1)
Ich habe jetzt beide Seiten abgeleitet, wodurch ich erhalten:
[mm] c_1a*e^{c_1x} [/mm] + [mm] c_2b*e^{c_2x} [/mm] + [mm] c_3c*e^{c_3x} [/mm] = 0 (2)
wobei gilt a, b, c [mm] \in \IR.
[/mm]
Wenn ich (1) jetzt mit [mm] c_1 [/mm] multipliziere und dann von (2) abziehe, um den ersten Term zu eliminieren, erhalte ich:
[mm] (c_2b*e^{c_2x} [/mm] - [mm] c_1b*e^{c_2x}) [/mm] + [mm] (c_3c*e^{c_3x} [/mm] - [mm] c_1c*e^{c_3x}) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow (c_{2}b [/mm] - [mm] c_1b)e^{c_2x} [/mm] + [mm] (c_{3}c [/mm] - [mm] c_1c)e^{c_3x} [/mm] = 0 (3)
Das kann ich wieder ableiten:
[mm] (c_{2}^{2}b [/mm] - [mm] c_1c_2b)e^{c_2x} [/mm] + [mm] (c_{3}^{2}c [/mm] - [mm] c_1c_3c)e^{c_3x} [/mm] = 0 (4)
Wenn ich etwas Ähnliches wie oben mache, also (3) mit [mm] c_2 [/mm] multipliziere und dann von (4) abziehe, erhalte ich:
[mm] (c_{3}^{2}c [/mm] - [mm] c_2c_3c)e^{c_3x} [/mm] = 0
Diese Gleichung kann jetzt nur aufgehen, wenn c = 0. Wenn ich dann c = 0 in (3) einsetze, erhalte ich, dass b = 0 ist. Und b = 0 sowie c = 0 in (1) eingesetzt zeigt mir, dass auch a = 0 sein muss. Das heißt, dass die drei Exponentialgleichungen linear unabhänig sein müssen.
Meine Frage ist jetzt, ob das, was ich hier gemacht habe, richtig und schlüssig ist. Ich bin noch nicht so bewandert in mathematischer Beweisführung, deshalb bitte ich um Ratschläge und Hinweise (und um Nachsicht für dumme Fehler) :)
Vielen Dank im Voraus :)
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Hallo,
das ist oben alles viel zu kompliziert gedacht. Du musst doch einfach nur zeigen, dass außer der trivialen keine weitere Linearkombination der drei Funktionen existiert, die für alle [mm] x\in\IR [/mm] Null ergibt. Hierzu reicht streng genommen die Eigenschaft [mm] e^x>0, [/mm] wenn wir mal annehmen, dass die [mm] c_i [/mm] paarweise verschieden sind (was eigentlich in der Aufgabenstellung gefordert sein sollte, obwohl es natürlich klar ist, dass selbige nur so einen Sinn ergibt).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:42 So 14.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> das ist oben alles viel zu kompliziert gedacht. Du musst
> doch einfach nur zeigen, dass außer der trivialen keine
> weitere Linearkombination der drei Funktionen existiert,
> die für alle [mm]x\in\IR[/mm] Null ergibt. Hierzu reicht streng
> genommen die Eigenschaft [mm]e^x>0,[/mm] wenn wir mal annehmen, dass
> die [mm]c_i[/mm] paarweise verschieden sind (was eigentlich in der
> Aufgabenstellung gefordert sein sollte, obwohl es
> natürlich klar ist, dass selbige nur so einen Sinn
> ergibt).
wieso reicht die Eigenschaft
[mm] $e^x [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] durchweg?
Bei
[mm] $r_1 e^{c_1 x}+r_2 e^{c_2x}+r_3 e^{c_3x} \equiv [/mm] 0$
wird ja nicht [mm] $r_1, r_2, r_3 \ge [/mm] 0$ gefordert.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:02 So 14.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien [mm]c_1, c_2, c_3 \in \IR.[/mm] Zeige, dass die
> Exponentialfunktionen [mm]e^{c_1x}, e^{c_2x}[/mm] und [mm]e^{c_3x}[/mm]
> linear unabhängig sind.
der Ansatz
[mm] $a*e^{c_1 x}+b*e^{c_2x}+c*e^{c_3 x} [/mm] =N(x):=0$ für alle [mm] $\red{x}$ [/mm] (!!!)
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $a=b=c=0$
ist okay.
Bevor ich jetzt Deinen Weg weiter verfolge: Ein natürlicher Weg, wie man
hier vorgehen kann, ist, mit (geeigneten) verschiedenen [mm] $x_1,x_2,x_3$-Werten
[/mm]
aus diesem Gleichungssystem (da steht ja eins "für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] - also eigentlich
überabzahlbar unendlich viele Gleichungen!") ein System mit 3 Gleichungen
zu machen, so dass man
[mm] $a=b=c=0\,$
[/mm]
folgern kann.
(Generell kannst Du auch [mm] $n\,$ [/mm] Gleichungen mit p.w. verschiedenen [mm] $x_1,...,x_n$
[/mm]
basteln, aus denen [mm] $a=b=c=0\,$ [/mm] hoffentlich folgerbar ist. Aber natürlich will
man am Liebsten so wenig wie möglich und so viel wie nötig arbeiten,
daher kommt die Zahl [mm] $3\,$ [/mm] bei diesen 3 Funktionen. Mit weniger als drei
Gleichungen wird Dir das nicht gelingen...)
Z.B. erhält man oben für [mm] $x=0\,$
[/mm]
(i) [mm] $a+b+c=0\,.$
[/mm]
Für [mm] $x=1\,$ [/mm] hätte man
(ii) [mm] $a*e^{c_1}+b*e^{c_2}+c*e^{c_3}=0\,.$
[/mm]
Für [mm] $x=2\,$
[/mm]
(iii) [mm] $a*(e^{c_1})^2+b*(e^{c_2})^2+c*(e^{c_3})^2=0\,.$
[/mm]
Vielleicht kann man aus (i), (ii) und (iii) auch [mm] $a=b=c=0\,$ [/mm] folgern. Probieren!
> Hallo,
>
> um zu beweisen, dass Funktionen linear unabhängig sind,
> muss man zeigen, dass die Koeffizienten in der linearen
> Kombination alle Null sind. Also praktisch folgendes:
>
> [mm]a*e^{c_1x}[/mm] + [mm]b*e^{c_2x}[/mm] + [mm]c*e^{c_3x}[/mm] = 0 (1)
>
> Ich habe jetzt beide Seiten abgeleitet, wodurch ich
> erhalten:
>
> [mm]c_1a*e^{c_1x}[/mm] + [mm]c_2b*e^{c_2x}[/mm] + [mm]c_3c*e^{c_3x}[/mm] = 0 (2)
>
> wobei gilt a, b, c [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Wenn ich (1) jetzt mit [mm]c_1[/mm] multipliziere und dann von (2)
> abziehe, um den ersten Term zu eliminieren, erhalte ich:
>
> [mm](c_2b*e^{c_2x}[/mm] - [mm]c_1b*e^{c_2x})[/mm] + [mm](c_3c*e^{c_3x}[/mm] - [mm]c_1c*e^{c_3x})[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow (c_{2}b[/mm] - [mm]c_1b)e^{c_2x}[/mm] + [mm](c_{3}c[/mm] - [mm]c_1c)e^{c_3x}[/mm] = 0 (3)
>
> Das kann ich wieder ableiten:
>
> [mm](c_{2}^{2}b[/mm] - [mm]c_1c_2b)e^{c_2x}[/mm] + [mm](c_{3}^{2}c[/mm] - [mm]c_1c_3c)e^{c_3x}[/mm] = 0 (4)
>
> Wenn ich etwas Ähnliches wie oben mache, also (3) mit [mm]c_2[/mm]
> multipliziere und dann von (4) abziehe, erhalte ich:
>
> [mm](c_{3}^{2}c[/mm] - [mm]c_2c_3c)e^{c_3x}[/mm] = 0
Rechne das aber bitte nochmal nach! Ich erhalte:
[mm] $((c_{3}^{2}c-c_3c_2c)+(c_1c_2c-c_1c_3c))e^{c_3x}=0$
[/mm]
bzw.
[mm] $c*(c_3(c_3-c_2)+c_1(c_2-c_3))*e^{c_3x}=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $c*(c_3-c_2)*(c_3-c_1)*e^{c_3x}=0\,.$
[/mm]
Aber ich mache hier einfach mal so weiter, als wenn Dein obiges Ergebnis
korrekt wäre - die Überlegungen bleiben nämlich ähnlich:
Das schreibst Du um/würdest Du umschreiben zu
[mm] $c*c_3*(c_3-c_2)e^{c_3x}=0\,.$
[/mm]
(Dein Ergebnis - wie gesagt. NICHT(!) das von mir korrigierte Ergebnis. Aber
mit dem korrigierten Ergebnis sind die Überlegungen ähnlich!)
Diese Gleichung soll ja auch gelten, und das Folgende ist beachtenswert
(und solltest Du eigentlich auch immer(!) dazuschreiben):
Sie soll gelten: "Für alle [mm] $x\,$ ($\in \IR$)!"
[/mm]
> Diese Gleichung kann jetzt nur aufgehen, wenn c = 0.
Das sehe ich nicht. Ich würde es aber sehen, wenn [mm] $c_3 \not=0$ [/mm] und [mm] $c_3 \not=c_2$ [/mm] ist.
Dass [mm] $c_1,c_2,c_3$ [/mm] wohl p.w. verschieden sein sollen, hat Diophant ja schon
gesagt. Du musst aber in Deinen folgenden Überlegungen jedenfalls
unterscheiden:
1. Fall: [mm] $c_3=0$
[/mm]
2. Fall: [mm] $c_3 \not=0\,.$
[/mm]
Es sei denn, Du hast die Voraussetzung [mm] $c_3 \not=0$ [/mm] auch verschwiegen!
(Ich habe den oben genannten Rechenfehler in (4) erst später bemerkt. In
der korrigierten Version wird sich das Problem der Fallunterscheidungn in
[mm] $c_3=0$ [/mm] und [mm] $c_3 \not=0$ [/mm] erledigen, wenn die Voraussetzungen, dass diese [mm] $c_i$
[/mm]
p.w. verschieden sind, ergänzt wird.)
> Wenn ich dann c = 0 in (3) einsetze,
Also wenn [mm] $c_3 \not=0$ [/mm] und (weil?) [mm] $c_3 \not=c_2$:
[/mm]
> erhalte ich, dass b = 0
Das wäre aus [mm] $c_2 \not=c_1$ [/mm] folgerbar. Auch da würde ich aber die Gleichung
umschreiben, damit das besser erkennbar ist [mm] ($b\,$ [/mm] vorklammern!).
> ist. Und b = 0 sowie c = 0 in (1) eingesetzt zeigt mir,
> dass auch a = 0 sein muss.
Das wäre dann okay.
> Das heißt, dass die drei
> Exponentialgleichungen linear unabhänig sein müssen.
>
> Meine Frage ist jetzt, ob das, was ich hier gemacht habe,
> richtig und schlüssig ist. Ich bin noch nicht so bewandert
> in mathematischer Beweisführung, deshalb bitte ich um
> Ratschläge und Hinweise (und um Nachsicht für dumme
> Fehler) :)
Es sind keine dummen Fehler (was wohl kleine Logikfehler oder
Rechenfehler sein sollen) vorhanden. Nur eine Unachtsamkeit und
wohl das Problem, dass Du wohl nicht alle Voraussetzungen wieder-
gegeben hast.
Ansonsten ist das Vorgehen okay. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Ich finde Deinen Weg eigentlich auch nicht unnötig kompliziert, aber
wenn Diophant seinen Gedankengang noch näher ausführen kann, so
kann es sein, dass er eine elegantere Methode vorstellt. Aber obige
Methode ist - sofern wir nicht beide Rechenfehler von Dir übersehen
haben - okay!)
Gruß,
Marcel
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