Lin. Unabhän. mit Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche Werte des Parameters t [mm] \in \IR [/mm] sind die folgenden Vektoren
in [mm] \IR^4 [/mm] linear unabhängig? u1= [mm] \pmat{1\\0\\2\\4}, [/mm] u2= [mm] \pmat{0\\1\\t\\-1}, [/mm] u3= [mm] \pmat{1\\1\\0\\-1} [/mm] , u4= [mm] \pmat{0\\0\\2\\-1} [/mm] |
Ich bin mir nicht so sicher hierbei. Mein Ansatz wäre 0=x [mm] \pmat{1\\0\\2\\4} [/mm] + y [mm] \pmat{0\\1\\t\\-1} [/mm] + z [mm] \pmat{1\\1\\0\\-1} [/mm] + a [mm] \pmat{0\\0\\2\\-1} [/mm] dann ein LGS:
I 0=x+z
II 0=y+z
III 0=2x+yt+2z
IV 0=4x-y-z-a
soweit alles in ordnung?
danke im vorraus
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> Für welche Werte des Parameters t [mm]\in \IR[/mm] sind die
> folgenden Vektoren
> in [mm]\IR^4[/mm] linear unabhängig?
> [mm] u1=\pmat{1\\0\\2\\4},[/mm] [mm]u2=\pmat{0\\1\\t\\-1},[/mm] [mm]u3=\pmat{1\\1\\0\\-1}[/mm] , [mm] u4=\pmat{0\\0\\2\\-1}[/mm]
> Ich bin mir nicht so sicher hierbei. Mein Ansatz wäre
> [mm]0=x* \pmat{1\\0\\2\\4} + y*\pmat{0\\1\\t\\-1}+ z*\pmat{1\\1\\0\\-1}+ a*\pmat{0\\0\\2\\-1}[/mm]
> dann ein LGS:
> I 0=x+z
> II 0=y+z
> III 0=2x+yt+2z
> IV 0=4x-y-z-a
>
> soweit alles in ordnung?
nicht ganz - in der Gleichung III sollte statt 2z richtig 2a stehen !
LG
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ok war ein kleiner tipfehler. Danke für den hinweis. Jzt müsste ich nur noch t herrausfinden und dann wäre die aufgabe gelöst?
I 0=x+z
II 0=y+z
III 0=2x+yt+2a
IV 0=4x-y-z-a
I -x=z
II -y=z
Einsetzen:
III 0=-2z-zt+2a
IV 0=-4z+z-z-a --> -4z=a
III 0=-10z-zt
z ausklammern: 0=z(-10-t)
t=-10
Meine frage am ein bisschen spät war zu sehr mit anderen aufgaben beschäftigt. Schreibe nächste woche Mittwoch eine Klausur.
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> ok war ein kleiner tipfehler.
Ich weiß nicht, ob man in vielen Bereichen, und auch in
vielen Bereichen der Mathematik, zwischen "kleinen" und
"großen" Fehlern unterscheiden kann.
Die Explosion der Raumfähre Challenger (1986) und der
Absturz der Concorde (2000) sind nur zwei besonders
herausragende Spitzen des riesigen Eisbergs, der für
große Katastrophen infolge läppischer "kleiner Fehler"
steht...
> Danke für den hinweis. Jzt
> müsste ich nur noch t herausfinden und dann wäre die
> aufgabe gelöst?
> I 0=x+z
> II 0=y+z
> III 0=2x+yt+2a
> IV 0=4x-y-z-a
>
> I -x=z
> II -y=z
> Einsetzen:
> III 0=-2z-zt+2a
> IV 0=-4z+z-z-a --> -4z=a
> III 0=-10z-zt
> z ausklammern: 0=z(-10-t)
> t=-10
Was meinst du jetzt damit ? Beachte nochmals die Fragestellung:
"Für welche Werte des Parameters t $ [mm] \in \IR [/mm] $ sind die folgenden Vektoren
in $ [mm] \IR^4 [/mm] $ linear unabhängig ?"
LG Al-Chw.
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Ok kann sein das ich heute bisschen zu viel gelernt habe, müde bin und einige fatale Fehler gemacht habe. Nach dem ich die Aufgabe 10000 mal gelesen habe, habe ich gemnerkt das es mehrere Werte sein sollen, aber ich bin jetzt echt überfragt. Ich würde dennoch gerne ein paar Vorschläge zu Lösung begrüßen.
Ich fand du hättest die ersten Sätze deiner Antwort sparen können die waren ziemlich unfreundlich Al-Chwariz
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Hallo,
> Ich fand du hättest die ersten Sätze deiner Antwort
> sparen können die waren ziemlich unfreundlich Al-Chwariz
>
ich bin zwar nicht der Adressat, kann dir aber nur sagen, dass du lernen solltest, über so etwas hinwegzusehen. In den Naturwissenschaften braucht man halt ein dickes Fell. Und andererseits hat Al-Chwarizmi ja auch Recht.
Nun aber wieder zur eigentlichen Aufgabe. Ich habe gesehen, dass du t=-10 ausgerechnet hast. Was ist denn nun wenn t=-10 ist?
Nach Aufgabenstellung sollst du Werte für t finden, sodass die Vektoren linear [mm] \textbf{unabhängig} [/mm] sind. Was bedeutet das?
Natürlich gibt es da mehrere Werte für t, sogar unendlich viele! Du kannst die Aufgabe aber auch anders lösen und die Werte von t nennen, für die die Vektoren nicht linear unabhängig sind und da kommt t=-10 wieder ins Spiel.
Ich mag dieses rumgespiele mit den Gleichungen überhaupt nicht, auch wenn es sicherlich nicht falsch ist, elegant ist es nicht. Kennst du dich mit Matrizen aus? Determinanten? Wenn ja, dann mach aus den 4 Vektoren eine Matrix und berechne die Determinante in Abhängigkeit von t. Das ist auch viel übersichtlicher und geht bei deinen gegebenen Vektoren sehr schnell, da die einige Nullen drin haben.
Viel Glück bei deiner Klausur!
Grüße Sleeper
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| Aufgabe | Aufgabe 5. Für welche Werte des Parameters t [mm] \in \IR [/mm] sind die folgenden Vektoren
in [mm] \IR^4 [/mm] linear unabh¨angig? |
Danke für deinen Tipp Tsleeper. Und ganz schöne leistung so früh aufezustehen und fragen zu beantworten:).Ich habe jzt die Regel von Sarrus benutzt um die determinante zu berechnen:
[mm] \vmat{ 1&0&1&0\\ 0&1&1&0 \\ 2&t&0&2\\ 4&-1&-1&-1} \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1\\2&t\\4&-1 }
[/mm]
(Wusste nicht wie ich es darstellen sollte)
da kommt jedenfall det(A)= 0 raus aber was hat das mit den t's, die ich ausrechnen soll, zu tun?
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Hallo EtechProblem,
> Aufgabe 5. Für welche Werte des Parameters t [mm]\in \IR[/mm] sind
> die folgenden Vektoren
> in [mm]\IR^4[/mm] linear unabh¨angig?
> Danke für deinen Tipp Tsleeper. Und ganz schöne leistung
> so früh aufezustehen und fragen zu beantworten:).Ich habe
> jzt die Regel von Sarrus benutzt um die determinante zu
> berechnen:
> [mm]\vmat{ 1&0&1&0\\ 0&1&1&0 \\ 2&t&0&2\\ 4&-1&-1&-1} \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1\\2&t\\4&-1 }[/mm]
>
> (Wusste nicht wie ich es darstellen sollte)
> da kommt jedenfall det(A)= 0 raus aber was hat das mit den
> t's, die ich ausrechnen soll, zu tun?
Nein, das passt nicht.
Die Regel von Sarrus kannst du nur für [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen verwenden.
Ich schreibe (noch?) mal die Matrix hin, deren Determinante es in Abh. von t zu bestimmen gilt, dazu packe ich die gegebenen Vektoren als Spalten in eine Matrix. Das gibt:
[mm] $A=\pmat{1&0&1&0\\0&1&1&0\\2&t&0&2\\4&-1&-1&-1}$
[/mm]
Nun stehen zB. in der 4.Spalte 2 Nullen, daher lohnt es sich, gem Laplace nach der 4.Spalte zu entwickeln:
Edit: hier war eine -1 zuviel ...:
[mm] $\operatorname{det}(A)=(-1)\cdot{}2\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\4&-1&-1}+(-1)\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\2&t&0}$
[/mm]
Die ersten beiden Summanden in der Laplaceentwicklung fallen wegen der Faktoren 0 weg.
Nun kannst du die Determinanten dieser beiden [mm] $3\times [/mm] 3$-Streichmatrizen mit Sarrus ausrechen ...
Dann schaue, für welche(s) t die Determinante 0 wird, für diese(s) t ist die Matrix nicht invertierbar, die Vektoren sind in dem Falle also linear abhängig.
Gruß
schachuzipus
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Danke für deine Hilfe. Da ich ja herraus finden sollte für welches t die vektoren lin. unabh. sind sollte die determinante nicht null sein. Ich habe zum schluss det(A)= 20+t raus.
Kann ich die Lösung so aufschreiben? L= t [mm] \in \IR [/mm] {-20}
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Hallo nochmal,
> Danke für deine Hilfe. Da ich ja herraus finden sollte
> für welches t die vektoren lin. unabh. sind sollte die
> determinante nicht null sein. Ich habe zum schluss det(A)=
> 20+t raus. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Kann ich die Lösung so aufschreiben? L= t [mm]\in \IR[/mm] {-20}
Ich bekomme, dass für [mm] $t=-\red{10}$ [/mm] die Determinante 0 wird.
Rechne nochmal nach ...
Also ist [mm] $\operatorname{det}(A)\neq 0\gdw t\neq [/mm] -10$
Also [mm] $\mathbb{L}=\IR\setminus\{-10\}$ [/mm] klick, um den Quelltext zu sehen.
Gruß
schachuzipus
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du hast ja das hier geschrieben: $ [mm] \operatorname{det}(A)=(-1)\cdot{}2\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\4&-1&-1}+(-1)\cdot{}(-1)\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\2&t&0} [/mm] $ Ich habe zuerst mit der Sarrusregel die det. berechnet und dann mit Faktor -2 multipliziert. Oder sollte ich den Faktor vorher rein multiplizieren. Wenn ich richtig liege dann habe ich wohl ein fehler während der Det. berechnung gemacht
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Hallo nochmal,
> du hast ja das hier geschrieben:
> [mm]\operatorname{det}(A)=(-1)\cdot{}2\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\4&-1&-1}+(-1)\cdot{}(-1)\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\2&t&0}[/mm]
> Ich habe zuerst mit der Sarrusregel die det. berechnet und
> dann mit Faktor -2 multipliziert. Oder sollte ich den
> Faktor vorher rein multiplizieren. Wenn ich richtig liege
> dann habe ich wohl ein fehler während der Det. berechnung
> gemacht
Der Fehler liegt bei mir. Es muss oben lauten:
[mm] $(-1)\cdot{}2\cdot{}\operatorname{det}(\ldots)+(-1)\cdot{}\operatorname{det}(\ldots)$
[/mm]
Ich hatte irgendwie ein $-1$ zuviel - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") .
Ich editiere es gleich im obigen post ...
Die Vorzeichenverteilung bei der Laplaceentwicklung ist ja schachbrettartig [mm] \pm [/mm] im Wechsel ...
Gruß
schachuzipus
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also ist dein ergebnis auch nicht richtig oder?
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Hallo nochmal,
> also ist dein ergebnis auch nicht richtig oder?
Ich denke schon, dass es passt, denn ich habe zum einen mit der richtigen Version gerechnet, zum anderen habe ich die Probe gemacht und $t=-10$ in die Matrix eingesetzt und diese dann in ZSF gebracht - es ergab sich eine Nullzeile ...
Rechne doch einfach mal die Determinante (in der berichtigten Version) aus.
Gruß
schachuzipus
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Ich hatte gehofft nicht auf fehlersuche gehen zu müssen:).
ich sehe meinen Fehler nicht..
$ [mm] \operatorname{det}(A)=(-1)\cdot{}2\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\4&-1&-1}+\cdot{}(-1)\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\2&t&0} [/mm] $
Ich muss ja für Sarrus das [mm] hier:\vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 4&-1} [/mm] und [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2& t}neben [/mm] den Determinanten setzen und dann die diagonalen addieren und subtrahieren also:
-2*(-1+0+0-8+1+0)+ -1*(0+0+0-2-t-0)
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Hallo,
> [mm]\operatorname{det}(A)=(-1)\cdot{}2\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\4&-1&-1}+\cdot{}(-1)\cdot{}\operatorname{det}\pmat{1&0&1\\0&1&1\\2&t&0}[/mm]
>
> Ich muss ja für Sarrus das [mm]hier:\vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 4&-1}[/mm]
> und [mm]\vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2& t}neben[/mm] den Determinanten
> setzen und dann die diagonalen addieren und subtrahieren
> also:
>
> -2*(-1+0+0-8+1+0)+ -1*(0+0+0-2-t-0)
fast: -2*(-1+0+0-4+1+0) - 1*(0+0+0-2-t-0) = 8 + 2 + t = 10+t
det = 0 für t = -10
Gruss Christian
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Genau danke:). Habs auf dem Bildschirm dann doch erkannt während du geschrieben hast
Danke euch alles für die hilfe
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ich habe gemerkt das -2*(-1+0+0-8+1+0)+ -1*(0+0+0-2-t-0) hier nciht ganz richtig ist die 8 sollte eine 4 sein:) -2*(-1+0+0-4+1+0)+ -1*(0+0+0-2-t-0)
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Hi Uygur,
OK, das war schon ein bisschen überzogen, sorry.
War aber keineswegs böse gemeint. Es hat mich einfach
an die vielen Schüler erinnert, die so oft der Meinung
sind, ein Vorzeichen- oder Kommafehler sei sowas
wie ein absolut unbedeutendes "Kavaliersdelikt". Oft
verlangen aber Leute eine "höhere Praxisrelevanz" des
Schulfaches Mathematik. Und genau an dieser Stelle
müsste ich halt sagen, dass es dann ein Unfug ist, in
der Schule solche "kleinen" Fehler wortlos zu tolerieren,
wo doch in der "Lebenspraxis" eben gerade von solchen
angeblich "kleinen" Fehlern unter Umständen das Leben
von Menschen abhängig sein kann. Dosiert ein Kranken-
pfleger eine Schmerzspritze 10 mal zu hoch (kleiner
Kommafehler), so stirbt der Patient vielleicht...
Verstehe also meine Bemerkung nicht als eine Rüge an
dich, sondern als eine schlichte Feststellung, die auch
an alle anderen gerichtet ist, welche hier hereinschauen !
Gruß Al-Chw.
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Ok in so einer welt Lebe ich noch nicht :). Uum Glück auch. Hab noch Zeit mich darauf vorzubereiten. Aber ich verstehe jetzt wenigstens wie du es gemeint hast.
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