Lin. unabh. /Erz. System/Basis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu prüfen gilt, ob folgendes Tupel von Vektoren in [mm] \R^{2}
[/mm]
lin. unabh. , Erz.-System bzw. Basis ist:
A = ( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 3 \\ -2} [/mm] |
Hallo,
also was zu machen ist weiß ich...
Es verwirrt mich jedoch die Argumentation im Tutorium..
Also:
Das Sys. ist lin abhängig.
=> kein Erz. sys, da lin. abh. und dim V = 2, 3 Vekoren.
=========================
Könnte es sein das ich mich verschrieben hab?
Denn wenn das Sys. lin. abhängig ist, dann haben wir doch einen Vektor zu viel.
Kann ich dann einen Vektor weg tun?
Dann hätten wir aber 2 Vektoren und 3 Dimensionen.
Hierraus folgt ja dann, dass es kein Erz. System und entsprechend auch keine Basis sein kann.
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Hallo Steffi1988,
> Zu prüfen gilt, ob folgendes Tupel von Vektoren in [mm]\R^{2}[/mm]
> lin. unabh. , Erz.-System bzw. Basis ist:
Die Vektoren sind doch alle aus dem [mm]\IR^{3}[/mm].
>
> A = ( [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 3 \\ -2}[/mm]
>
> Hallo,
> also was zu machen ist weiß ich...
> Es verwirrt mich jedoch die Argumentation im Tutorium..
>
> Also:
>
> Das Sys. ist lin abhängig.
>
> => kein Erz. sys, da lin. abh. und dim V = 2, 3 Vekoren.
>
>
> =========================
>
> Könnte es sein das ich mich verschrieben hab?
Statt [mm]\IR^{2}[/mm] muß es [mm]\IR^{3}[/mm] heißen.
>
> Denn wenn das Sys. lin. abhängig ist, dann haben wir doch
> einen Vektor zu viel.
> Kann ich dann einen Vektor weg tun?
Ja.
>
> Dann hätten wir aber 2 Vektoren und 3 Dimensionen.
> Hierraus folgt ja dann, dass es kein Erz. System und
> entsprechend auch keine Basis sein kann.
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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Hab mich verschrieben.. Klar muss es [mm] \IR^{3} [/mm] heißen... 
Eine Frage noch:
Welchen Vektor kann ich dann weg tun?
Nach lust und Laune?
und wie kommt der Prof dann auf:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } \not\in [/mm] span(A)
=================
Ich weiß nur, dass span(A) der Raum ist, den die Vektoren alle aufspannen.
LG
steffi
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Hallo Steffi1988,
> Hab mich verschrieben.. Klar muss es [mm]\IR^{3}[/mm] heißen...
>
> Eine Frage noch:
>
> Welchen Vektor kann ich dann weg tun?
> Nach lust und Laune?
Ja.
>
>
> und wie kommt der Prof dann auf:
>
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 } \not\in[/mm] span(A)
Nehmen wir z.B. die ersten 2 Vektoren:
Soll [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0}\in [/mm] span(A) sein, so muß gelten:
[mm]\alpha*\pmat{1 \\ 1 \\ 0}+\beta*\pmat{0 \\ -1 \\ 2}=\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Aus der 1. Zeile folgt: [mm]\alpha*1+\beta*0=\alpha=0[/mm]
Aus der 3. Zeile folgt: [mm]\alpha*0+\beta*\left(-1\right)=-\beta=0 \Rightarrow \beta=0[/mm]
Aus der 2. Zeile folgt: [mm]\alpha*1+\beta*\left(-1\right) \not= 1[/mm]
Somit ist [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0} \not\in [/mm] span(A).
>
> =================
>
> Ich weiß nur, dass span(A) der Raum ist, den die Vektoren
> alle aufspannen.
>
>
> LG
> steffi
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:13 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Vielen Dank für Deine Antwort.
Aber wie kommt er denn zu dem Vektor 0, 1, 0 nicht elem. von span(A).
Deinen Rechenweg kann ich nachvollziehen. Aber ich werde ja bei anderen Aufgaben den Vektor der nicht Element von span(xyz) ist, nicht gegeben haben :)
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo Steffi
> Vielen Dank für Deine Antwort.
>
> Aber wie kommt er denn zu dem Vektor 0, 1, 0 nicht elem.
> von span(A).
>
> Deinen Rechenweg kann ich nachvollziehen. Aber ich werde ja
> bei anderen Aufgaben den Vektor der nicht Element von
> span(xyz) ist, nicht gegeben haben :)
Irgendwie verstehe ich nicht, worauf du hinauswillst.
Die Aufgabe war doch
Zu prüfen gilt, ob folgendes Tupel von Vektoren in $ [mm] \IR^{3} [/mm] $
lin. unabh. , Erz.-System bzw. Basis ist:
A = ( $ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 3 \\ -2} [/mm] $
Erkannt hast du nun schon, dass es kein Erzeugendensystem ist auf Grund der linearen Abhängigkeit.
Jetzt fehlt noch das mit der "Basis"
Eine Basis vom [mm] \IR^n [/mm] hat genau n Vektoren.
Jetzt hast du in deinem Erzeugendensystem zwei Vektoren. Frage: Kann dies eine Basis vom [mm] \IR^3 [/mm] sein? Nein, weil "Eine Basis vom [mm] \IR^n [/mm] hat genau n Vektoren."
Vielleicht seid ihr in der Vorlesung nicht soweit gekommen oder habt es noch nicht bewiesen, also ist ein Gegenbeispiel notwendig.
Und mit Hilfe meiner Bemerkung kannst du schon einmal darauf schließen, es gibt einen Vektor, der nicht im Span enthalten ist. Und jetzt suchst du dir ein...
In deiner Lösung ist es [mm] \vektor{0\\1\\0}. [/mm] Das ist einer von (unendlich) vielen. Genauso gut hättest du einen anderen angeben können.
(Hoffentlich ging es nicht um etwas komplett anderes, weil irgendwie war ich gerade ein bisschen verwirrt )
Viele Grüße
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Nabend :)
Ich bin mir unsicher, deswegen frag ich halt lieber genau nach :)
Also was ich meinte:
Wir haben ja die drei Vektoren gegeben.
Da diese lin. abh. sind, dürfen wir einen wegstreichen.
In unserem Beispiel haben wir den letzten gestrichen.
Als LGS blieb dann:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 0
[mm] \lambda_{1} [/mm] - [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 0
Daraus folgt ja
Erste Zeile: [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0
Dritte Zeile: [mm] 2\lambda_{2} [/mm] = 0
Wenn ich es nun in die zweite Zeile Einsetze passt das..
Also was ich sagen will:
Wie kommt man zu dem Vektor [mm] \not\in [/mm] A wenn ich ihn nicht gegeben habe?
Der Prof hat ja den hier aufgeschrieben.
Dann wurde mir ja weiter oben hier im Beitrag gezeigt:
LGS gleich dem Vektor vom Prof zu setzen.
Aber wie komme ich auf diesen?
Verwirrend.. Ich hoffe ihr wisst was ich meine, hihi
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> A = ( [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 3 \\ -2}[/mm]
> also was zu machen ist weiß ich...
Hallo,
ich finde, daß man Deine Fragen viel besser und vielleicht für Dich zufriedenstellender hätte beantworten können, hättest Du ein bißchen etwas davon preisgegeben, was Ihr tut, wenn Ihr die lineare Unabhängigkeit zeigt oder die Dimension von aufgespannten Räumen berechnet.
Dann würde man sich beim Antworten nämlich darauf beziehen können.
Bei dieser extrem übersichtlichen Aufgabe ist ja weder die Bestimmung der Dimension des aufgespannten Unterraumes noch das Finden eines Vektors, welcher nicht in diesem liegt, eine echte Herausforderung, aber wenn man etwas mehr und "größere" Vektoren hast, sieht man das nicht mehr auf einen Blick - und möglicherweise zielte hierauf Deine im Verlauf des Threads gestellte Frage.
Um die Dimension des aufgespannten Unterraumes und eine Basis herauszufinden, bedient man sich ja normalerweise der Matrizen und des Gaußalgorithmus.
Es gibt hier zwei gebräuchliche Vorgehensweisen, ich nehme die, bei welcher die vorgegebenen Vektoren als Spalten in eine Matrix gestellt werden, welche dann auf Zeilenstufenform gebracht wird:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 &3 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] --> [mm] \pmat{ \green{1} & 0 & 2 \\ 0 & \green{1} &-1 \\ 0 &0 & 0 }
[/mm]
Der Rang der Matrix ist =2, also hat der aufgespannte Unterraum die Dimension 2.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 2. Spalte.
Hieraus kannst Du wissen, daß Dein erster und zweiter Startvektor eine basis des aufgespannten Raumes sind - es gibt noch viele andere basen, aber eine hast Du hiermit sicher gefunden.
Um einen Vektor zu finden, welcher nicht im aufgespannten Raum liegt, kannst Du Dir überlegen, welchen Vektor Du in die Zeilenstufenform so einschieben könntest, daß ihr Rang sich um 1 vergrößert, welcher Vektor Dir also eine weitere Stufe liefern würde:
[mm] \pmat{ \green{1} & 0 & 2&\red{0} \\ 0 & \green{1} &-1&\red{0} \\ 0 &0 & 0&\red{1} }
[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] wäre einer von sehr vielen Vektoren, die nicht im aufgespannten Raum liegen. Sein Vorteil ist der, daß ich ihn mit meiner ZSF ganz schnell finden kann.
Gruß v. Angela
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[laugh]](/images/smileys/laugh.gif "[laugh]"){kind=small}
