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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Di 23.10.2007 | | Autor: | snowfox4 |
| Aufgabe | Wir schreiben für eine natürliche Zahl [mm] \IN [/mm] abkürzend [n] für die Menge {1,...,n}. Sei f : [n] [mm] \mapsto [/mm] [n] eine Abbildung. Zeigen Sie für alle i [mm] \in [/mm] [n] gilt entweder:
1.) [mm] \underbrace{f(...(f}_{=l}(i)...) \not= [/mm] i für alle l [mm] \ge [/mm] 1 oder
2.) es gibt ein l mit 2 [mm] \le [/mm] l [mm] \le [/mm] n und
[mm] \underbrace{f(...f}_{=l}(i)...) [/mm] = i
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Hallo! Habe am Montag mein ersten Übungszettel zu Lin I erhalten. Körper, etc. teilweise klar. Aber an dieser Aufgabe verzweifle ich, da ich nicht weiß, was man hier von mir will. Kann mir einer Helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Ich mache mal ein Beispiel:
n = 5
f(1) = 2
f(2) = 3
f(3) = 1
f(4) = 5
f(5) = 5
für $i=1$:
Es gilt $f(f(f(1)))=1$ also mit $l=3$ ist die zweite Bedingung erfüllt.
(Es gilt auch $f(f(f(f(f(f(1)))))) = 1$, aber wichtig ist, dass es ein [mm] $l\leq [/mm] n$ gibt, das die Bedingung erfüllt.)
für $i=4$:
Es gilt $f(4)=5, f(f(4))=5, f(f(f(4)))=5, [mm] \ldots$, [/mm] aslo egal wie oft du $f$ wiederholst, die $4$ wird nie mehr erreicht.
Die erste Bedingung ist also erfüllt.
Du musst zeigen, dass auch im Allgemeinen immer eine der Bedingungen erfüllt ist.
"Der Anfangswert wird nie mehr erreicht." oder "Der Anfangswert wird nach $n$ oder weniger Schritten wieder erreicht"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 24.10.2007 | | Autor: | snowfox4 |
Hallo Leonhard,
vielen Dank (!) für das Beispiel. Hab dies soweit Verstanden. Verstehe jedoch nicht, warum der Prof solch eine Aufgabe stellt, wo steckt der tiefere Sinn dahinter?
Nur, dass man sein Gehirn anstrengt, oder?
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Ja, unter Anderem auch um die mathematische Sprache zu üben.
Die "Übersetzung" ist ein wesentlicher Teil der Aufgabe.
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Ich habe eine Frage dazu. Es muss ja nun noch der Beweis im Allgemeinen geführt werden, d.h. für f : [n] [mm] \to [/mm] [n]
Wenn ich dabei die Abbildung([n],[n+1]) nehme, für die die erste Bedinung erfüllt wäre, ist dies kein allgemein gültiger Beweis, richtig?
An dieser Stelle hänge ich momentan, ich muss doch eine Abbildungsvorschrift für f : [n] [mm] \to [/mm] [n] definieren und diese ist m.E. immer spezifisch?
Wäre für einen kleinen Tipp dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Fr 26.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich habe eine Frage dazu. Es muss ja nun noch der Beweis im
> Allgemeinen geführt werden, d.h. für f : [n] [mm]\to[/mm] [n]
>
> Wenn ich dabei die Abbildung([n],[n+1]) nehme, für die die
> erste Bedinung erfüllt wäre, ist dies kein allgemein
> gültiger Beweis, richtig?
So kannst du sicher nicht schrieben, f soll ja ne Abbildung von [n] nach [n+1] sein.
was du meinst ist vielleich f(i)=i+1 das geht aber nur für i<n denn n+1 ist ja nicht in [n]
und natürlich ist ein Beispiel kein Beweis.
Beispiele kann man nur benutzen, um einen Satz zu widerlegen. nicht um etwas zu beweisen!
Du musst ausnutzen, dass [n] endlich ist, es also nur endlich viele Funktionswerte gibt.
dann eine Fallunterscheidung: z.Bsp: alle [mm] f(i)\nef(k) [/mm] falls [mm] i\nek [/mm] was folgt daraus usw.
> An dieser Stelle hänge ich momentan, ich muss doch eine
> Abbildungsvorschrift für f : [n] [mm]\to[/mm] [n] definieren und
> diese ist m.E. immer spezifisch?
Nein, du muss keine Vorschrift definieren. sondern nur die Eigenschaft, dass die Werte von f(i) wieder ein [mm] k\len [/mm] sein muss.
Ich würd mal die Möglichkeiten für n=2, dann 3 überlegen, vielleicht gehts auch mit Induktion.(weisds ich aber nicht, ist nur ne Idee!
Gruss leduart.
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