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| Aufgabe | Verifiziere, dass die Vektoren linear unabhängig in [mm] \IR^6 [/mm] sind.
[mm] v_1=\vektor{7 \\ -1\\2\\0\\3\\1},v_2=\vektor{14\\-1\\4\\1\\10\\3},v_3=\vektor{-21\\0\\-6\\-3\\-23\\2}
[/mm]
und ergänze diese zu einer Basis von [mm] \IR^6.
[/mm]
Prüfe, ob die zeilen der Matrix linear unabhängig sind
A= [mm] \pmat{ 2 & 3&2\\ -1 & 1&2\\2&3&5} [/mm] |
Frage: Muss man hier nun zu Spaltenumformungen greifen oder könnte man auch Zeilenumformungen durchführen?
[mm] \pmat{ 7 & 14&-21 \\ -1 & -1&0\\2&4&-6\\0&1&-3\\3&10&-23\\1&3&2 }
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 7 & 0&0 \\ -1 & 1&0\\2&0&0\\0&1&0\\3&4&1\\1&1&8 }
[/mm]
Rang 3. Rang stimmt mit Anzahl der Spalten überin => Spalten linear unabhängig.
Zeilenumformungen
--> [mm] \pmat{ 7 & 14&-21 \\ 0 & 1&-3\\0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0 }
[/mm]
Rang 3. Rang stimm mit Anzahl der Spalten überein => Spalten linear unabhängig
> und ergänze diese zu einer Basis von [mm] \IR^6.
[/mm]
Wie mache ich das nun? Nach den SPaltenumformungen müsste ich [mm] e_3,e_4,e_6 [/mm] ergänzen nach zeilemumformung aber andere!
A= [mm] \pmat{ 2 & 3&2\\ -1 & 1&2\\2&3&5}
[/mm]
Zeilenumformungen:
[mm] -->\pmat{ 2 & 3&2\\ 0 & 5/2&3\\0&0&-3}
[/mm]
Rank 3. Wie argumentiere ich hier, ob die Zeilen linear unabhängig sind?
Reicht: Die Anzahl der Zeilen entspricht den Rank also sind die zeilen Linear unabhängig.
Frage:
Wenn der Rank kleiner bzw. größer ist als die Anzahl der Spalten, sind die Spalten dann automatisch linear abhängig?
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> Verifiziere, dass die Vektoren linear unabhängig in [mm]\IR^6[/mm]
> sind.
> [mm]v_1=\vektor{7 \\
-1\\
2\\
0\\
3\\
1},v_2=\vektor{14\\
-1\\
4\\
1\\
10\\
3},v_3=\vektor{-21\\
0\\
-6\\
-3\\
-23\\
2}[/mm]
>
> und ergänze diese zu einer Basis von [mm]\IR^6.[/mm]
>
> Prüfe, ob die zeilen der Matrix linear unabhängig sind
> A= [mm]\pmat{ 2 & 3&2\\
-1 & 1&2\\
2&3&5}[/mm]
> Frage: Muss man
> hier nun zu Spaltenumformungen greifen oder könnte man
> auch Zeilenumformungen durchführen?
Du willst die lineare Abhängigkeit von [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] testen und nicht von
[mm]\vektor{7\\
14\\
-21},\vektor{-1\\
-1\\
0},\ldots[/mm]
>
So ist es richtig:
> [mm]\pmat{ 7 & 14&-21 \\
-1 & -1&0\\
2&4&-6\\
0&1&-3\\
3&10&-23\\
1&3&2 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> --> [mm]\pmat{ 7 & 0&0 \\
-1 & 1&0\\
2&0&0\\
0&1&0\\
3&4&1\\
1&1&8 }[/mm]
Wenn du das noch weiter ausführst nach dem Gaußalgo, dann erhälst du
[mm]\left( \begin {array}{cccccc}1 & 0 & \tfrac{2}{7} & \tfrac{1}{7} & 0 & \tfrac{30}{7} \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 17 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\
\end {array} \right) ^T[/mm]
Zum ergänzen hilft gedanklich. Das hast du aber richtig.
[mm]\left( \begin {array}{cccccc}1 & 0 & \tfrac{2}{7} & \tfrac{1}{7} & 0 & \tfrac{30}{7} \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 17\\
0&0&\red{1}&0&0&0\\
0&0&0&\red{1}&0&0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\
0&0&0&0&0&\red{1} \end {array} \right) ^T[/mm]
>
> Rang 3. Rang stimmt mit Anzahl der Spalten überin =>
> Spalten linear unabhängig.
>
> Zeilenumformungen
> --> [mm]\pmat{ 7 & 14&-21 \\
0 & 1&-3\\
0&0&2\\
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0 }[/mm]
>
> Rang 3. Rang stimm mit Anzahl der Spalten überein =>
> Spalten linear unabhängig
Es ist immer Zeilenrang=Spaltenrang
>
> > und ergänze diese zu einer Basis von [mm]\IR^6.[/mm]
Was ergänzt du zu einer Basis? Hier betrachtest du, wie gesagt die 6 Vektoren:
[mm]\vektor{7\\
14\\
-21},\vektor{-1\\
-1\\
0},\ldots[/mm] und erhälst Rang=3. Ergo linear abhängig.
Da gibt es nichts zu einer Basis ergänzen, da diese 6 Vektoren linear abhängig sind und somit keine Basis sein können.
> Wie mache ich das nun? Nach den SPaltenumformungen müsste
> ich [mm]e_3,e_4,e_6[/mm] ergänzen
> nach zeilemumformung aber
> andere!
>
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & 3&2\\
-1 & 1&2\\
2&3&5}[/mm]
> Zeilenumformungen:
> [mm]-->\pmat{ 2 & 3&2\\
0 & 5/2&3\\
0&0&-3}[/mm]
> Rank 3. Wie
Rang
> argumentiere ich hier, ob die Zeilen linear unabhängig
> sind?
> Reicht: Die Anzahl der Zeilen entspricht den Rank also
> sind die zeilen Linear unabhängig.
voller Zeilen/Spaltenrang => Zeilen/Spalten sind linear unabhängig.
>
> Frage:
> Wenn der Rank kleiner bzw. größer ist als die Anzahl der
> Spalten, sind die Spalten dann automatisch linear
> abhängig?
Wenn der Rang kleiner als Spalten/Zeilen-Anzahl ist, dann sind die Spalten/Zeilen-Vektoren linearabhängig.
Rang größer als Spalten/Zeilen-Anzahl geht nicht.
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danke für die Antworten.
Eine Frage hätte ich noch, die nicht ganz dazu passt, aber ich möchte keinen eigenen Thread aufmachen.
Stimmt die Aussage, das jedes Erzeugendensystem von [mm] \IR^3 [/mm] endlich ist?
Erzeugendensystem von [mm] \IR^3, [/mm] d.h das Erzeugendensystem [mm] \ge [/mm] 3 Vektoren hat.
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> danke für die Antworten.
> Eine Frage hätte ich noch, die nicht ganz dazu passt,
> aber ich möchte keinen eigenen Thread aufmachen.
Hallo,
warum nicht?
Geschickter wär's schon.
>
> Stimmt die Aussage, das jedes Erzeugendensystem von [mm]\IR^3[/mm]
> endlich ist?
Nein.
>
> Erzeugendensystem von [mm]\IR^3,[/mm] d.h das Erzeugendensystem [mm]\ge[/mm]
> 3 Vektoren hat.
Hä? was willst Du jetzt genau wissen?
Ja, es gibt Erzeugendensysteme von [mm] \IR^3, [/mm] welche mehr als drei Elemente haben, nämlich diejenigen, die keine Basis sind,
und unter diesen gibt es welche, die nicht endlich sind.
Beispiele suchst Du jetzt mal zu Verständniszwecken selbst.
(Bedenke: jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.)
LG Angela
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