Linear unabhängige Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Sei M = [mm] {v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}} [/mm] mit den Vektoren
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\-2}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1\\1}, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\-5}, v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\1}, v_{5} [/mm] = [mm] \vektor{3\\-1\\1} [/mm] aus dem Vektorraum [mm] \IR^{3}.
[/mm]
a) Welche Dimension hat S := [mm] Span({v_{1},v_{2}})? [/mm] Liegt der Vektor [mm] v_{3} [/mm] in S?
b) Geben Sie eine maximale Menge von linear unabhängigen Vektoren aus M an.
c) Sei A die Matrix, die als Spalten die Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] hat:
[mm] A=\pmat{1 & 1&1\\0&-1&1\\-2&1&-5}
[/mm]
Welchen Wert hat die Determinante von A?
Geben Sie einen Eigenwert der Matrix A an. |
Guten Tag,
a) Dim von S ist 2 da beide linear unabhängig. Ja [mm] v_{3} [/mm] liegt in S, da [mm] v_{3} [/mm] = [mm] 2*v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}.
[/mm]
b) Ist die Mächtigkeit der maximalen Menge von linear unabhängigen Vektoren eigentlich n im [mm] \IR^{n} [/mm] ?
Ich hab das jetzt so gemacht,dass ich die Vektoren zu einer Matrix zusammengesetzt habe und dann die Pivotspalten bestimmt habe, wobei ich [mm] v_{3} [/mm] rausgelassen habe, da ich in a) schon gezeigt habe, dass dieser zusammsetzbar ist. Dabei habe ich heraus bekommen, dass x4 keine Pivotspalte und somit [mm] v_{5} [/mm] linear abhängig ist.
c)
Determinante ist 0. Das hat glaube ich nix Gutes zu bedeuten.
Für den Eigenwert habe ich zum einen 0 raus, die anderen sind ziemlich eklig.
Gibt es eine Möglichkeit einen Eigenwert zu bestimmen ohne alle zu bestimmen ? Also ich weiß, dass es gehen würde, wenn ich einen Eigenvektor wüsste. Kann ich das irgendwie daraus ableiten, dass ich weiß, dass der [mm] v_{3} [/mm] linear abhängig ist ? Oder durch die Determinante einen Eigenwert irgendwie bestimmen ?
Danke im voraus,
Andreas
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> Sei M = [mm]{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}}[/mm] mit den Vektoren
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\-2}, v_{2}[/mm] = [mm]\vektor{1\\-1\\1}, v_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{1\\1\\-5}, v_{4}[/mm] = [mm]\vektor{0\\1\\1}, v_{5}[/mm] =
> [mm]\vektor{3\\-1\\1}[/mm] aus dem Vektorraum [mm]\IR^{3}.[/mm]
>
> a) Welche Dimension hat S := [mm]Span({v_{1},v_{2}})?[/mm] Liegt der
> Vektor [mm]v_{3}[/mm] in S?
>
> b) Geben Sie eine maximale Menge von linear unabhängigen
> Vektoren aus M an.
>
> c) Sei A die Matrix, die als Spalten die Vektoren
> [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] hat:
> [mm]A=\pmat{1 & 1&1\\0&-1&1\\-2&1&-5}[/mm]
> Welchen Wert hat die
> Determinante von A?
> Geben Sie einen Eigenwert der Matrix A an.
> Guten Tag,
>
> a) Dim von S ist 2 da beide linear unabhängig. Ja [mm]v_{3}[/mm]
> liegt in S, da [mm]v_{3}[/mm] = [mm]2*v_{1}[/mm] - [mm]v_{2}.[/mm]
Hallo,
so ist es.
>
> b) Ist die Mächtigkeit der maximalen Menge von linear
> unabhängigen Vektoren eigentlich n im [mm]\IR^{n}[/mm] ?
Ja. Das ist die Dimension = Anzahl der Elemente einer Basis = Mächtigkeit einer maximalen Menge linear unabhängiger Vektoren.
> Ich hab das jetzt so gemacht,dass ich die Vektoren zu einer
> Matrix zusammengesetzt habe und dann die Pivotspalten
> bestimmt habe, wobei ich [mm]v_{3}[/mm] rausgelassen habe, da ich in
> a) schon gezeigt habe, dass dieser zusammsetzbar ist. Dabei
> habe ich heraus bekommen, dass x4 keine Pivotspalte und
> somit [mm]v_{5}[/mm] linear abhängig ist.
Die ersten drei Vektoren Deiner Ursprungsmatrix sind linear unabhängig, und [mm] v_5 [/mm] kann man als Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
(Kein Wunder, denn die drei linear unabhängigen Vektoren sind eine Basis des [mm] \IR^3
[/mm]
>
> c)
> Determinante ist 0.
Stimmt.
> Das hat glaube ich nix Gutes zu
> bedeuten.
Da müßten wir erstmal "das Gute" definieren.
> Für den Eigenwert habe ich zum einen 0 raus, die anderen
> sind ziemlich eklig.
Du sollst ja nur einen sagen.
> Gibt es eine Möglichkeit einen Eigenwert zu bestimmen
> ohne alle zu bestimmen ?
Ja.
Die Determinante der Matrix ist 0.
Also ist A nicht invertierbar.
Also ist [mm] KernA\not=\{\vektor{0\\0\\0}\}.
[/mm]
Also gibt es einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor [mm] v\in\IR^3 [/mm] mit [mm] Av=\vektor{0\\0\\0}=0*v.
[/mm]
Also ...
LG Angela
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