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| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] C^\infty [/mm] ([0, [mm] \pi]) [/mm] ist sin x, sin 2x, . . . , sin nx ein linear unabhängiges System von Vektoren. (Tipp: Differenziere!) |
hallo, es ist mal wieder soweit, ich habe bei einer aufgabe mal wieder null peil. kann mir jemand sagen wie ich das machen muss oder machen kann und vielleicht ein beispiel hinzufügen,damit ich ich an etwas orientieren kann,wäre super nett!Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Di 09.05.2006 | | Autor: | martzo |
> Zeigen Sie: [mm]C^\infty[/mm] ([0, [mm]\pi])[/mm] ist sin x, sin 2x, . . . ,
> sin nx ein linear unabhängiges System von Vektoren. (Tipp:
> Differenziere!)
hi chilavert,
also: [mm]V:=C^\infty ([0,\pi])[/mm] ist der Raum der unendlich-oft differenzierbaren funktionen, die auf dem intervall [mm][0,\pi][/mm] definiert sind. mit der üblichen skalarmultiplikation ist dies insbesondere ein vektorraum über [mm]\mathbb{R}[/mm]. das nullelement in diesem vektorraum ist die funktion [mm]O[/mm], die alle argumente auf die 0 abbildet. die funktionen [mm]\sin x, \sin 2x, \sin 3x, \ldots, \sin nx[/mm] sind also insbesondere vektoren in V. um die lineare unabhängigkeit zu zeigen, musst du folgende implikation beweisen:
[mm]a_1\sin x+a_2\sin 2x+\ldots +a_n \sin nx\equiv O\Rightarrow a_i=0 [/mm] für alle [mm]i=1,\ldots,n[/mm]
man kann das durch geschicktes ableiten sicher sofort sehen, ich würde aber vollständige induktion vorschlagen.
zum besseren verständnis gebe ich dir noch die lösung für den fall n=2 mit auf den weg:
Sei also [mm]a_1\sin x+a_2\sin 2x\equiv O[/mm]. durch zweimaliges ableiten auf beiden seiten folgt:
[mm]-a_1\sin x-4a_2\sin 2x\equiv O[/mm]
umstellen ergibt:
[mm]a_1\sin x\equiv 4a_2\sin 2x[/mm]
nachdem einsetzen in die erste gleichung erhält man:
[mm]5a_2\sin 2x\equiv O[/mm]
jetzt ist klar, dass [mm]a_2=0[/mm]. [mm]a_1=0[/mm] erhält man durch einsetzen von [mm]a_2[/mm] in die erste gleichung.
viele grüße,
martzo
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