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| Aufgabe | Sei K ein Körper mit mindestens 3 Elementen und seinen V und W Vektorräume über K.
Sei f: V [mm] \to [/mm] W eine Abbildung. Zeige:
Die Abbildung f ist genau dann linear, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(i): [mm] f(av_1+(1 [/mm] - [mm] a)v_2) [/mm] = [mm] af(v_1)+(1-a)f(v_2) [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] K und [mm] v_1,v_2 \in [/mm] V
(ii): f(0)=0 |
Hallo :)
Ich glaube das ich diese Aufgabe eigentlich schon richtig gelöst habe. Das Problem ist aber, dass meine Tutorin meinte, dass meine Lösung so noch nicht vollständig ist. Ich habe leider keine weiteren Ideen dazu im Internet gefunden und auch nicht in Büchern. Deshalb hoffe ich, dass mir hier jemand helfen kann :)
Meine Lösung sieht so aus:
(i): [mm] f(av_1+(1-a)v_2)
[/mm]
= [mm] f(av_1)+f((1-a)v_2)
[/mm]
= [mm] af(v_1)+(1-a)f(v_2)
[/mm]
(ii): [mm] f(0_v)=f(0*0_v)
[/mm]
= [mm] 0*f(0_v)
[/mm]
[mm] =0_w
[/mm]
Ich denke man muss zeigen, dass
1. f linear, dann gelten (i) und (ii)
2. es gelten (i) und (ii), dann ist f linear
2. hab ich ja mit obigem bewiesen. Laut meiner Tutorin, darf man auch nicht einfach die "=" durch Äquivalenzpfeile ersetzen. Aber ich verstehe nicht, wie ich den anderen Punkt dann beweisen soll.
Ich wäre um jede Hilfe sehr dankbar!!
Lieben Gruß
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mo 08.12.2014 | | Autor: | hippias |
Ich stimme Deiner Tutorin zu. Soweit ich es ueberblicke hast Du nicht die Linearitaet von $f$ nachgewiesen. Verdaechtig ist auch, dass Du die Voraussetzung ueber den Koerper nirgends benutzt hast.
Vermutlich habt ihr Linearitaet so definiert:
$f$ heisst linear, wenn [mm] $f(\lambda v+\mu [/mm] w)= [mm] \lambda [/mm] f(v)+ [mm] \mu [/mm] f(w)$ fuer alle [mm] $\lambda,\mu\in [/mm] K$ und alle [mm] $v,w\in [/mm] V$ gilt.
Der eine Teil des Beweises ist uebrigens recht kurz: Wenn $f$ linear ist, also obige Bedingung erfuellt ist, dann folgen auch i) und ii).
Vielleicht solltest Du zuerst diesen Teil loesen. Dazu sei [mm] $a\in [/mm] K$ und [mm] $v_{1},v_{2}\in [/mm] V$. Weshalb gilt nun [mm] $f(av_1+(1 [/mm] - [mm] a)v_2)= af(v_1)+(1-a)f(v_2)$? [/mm] Weshalb gilt [mm] $f(0_{V})=0_{W}$? [/mm] Hierfuer wird die Vorausstzung ueber $K$ noch nicht benoetigt.
Fuer den andern Teil setze i) und ii) voraus und versuche obige Gleichung herzuleiten. Ist Dir klar, dass obige Gleichung folgt, wenn zusaetzlich [mm] $\lambda+\mu\neq [/mm] 0$ vorausgesetzt ist?
> Sei K ein Körper mit mindestens 3 Elementen und seinen V
> und W Vektorräume über K.
> Sei f: V [mm]\to[/mm] W eine Abbildung. Zeige:
>
> Die Abbildung f ist genau dann linear, wenn die folgenden
> Bedingungen erfüllt sind:
>
> (i): [mm]f(av_1+(1[/mm] - [mm]a)v_2)[/mm] = [mm]af(v_1)+(1-a)f(v_2)[/mm] für alle a
> [mm]\in[/mm] K und [mm]v_1,v_2 \in[/mm] V
> (ii): f(0)=0
> Hallo :)
>
> Ich glaube das ich diese Aufgabe eigentlich schon richtig
> gelöst habe. Das Problem ist aber, dass meine Tutorin
> meinte, dass meine Lösung so noch nicht vollständig ist.
> Ich habe leider keine weiteren Ideen dazu im Internet
> gefunden und auch nicht in Büchern. Deshalb hoffe ich,
> dass mir hier jemand helfen kann :)
>
> Meine Lösung sieht so aus:
>
> (i): [mm]f(av_1+(1-a)v_2)[/mm]
> = [mm]f(av_1)+f((1-a)v_2)[/mm]
> = [mm]af(v_1)+(1-a)f(v_2)[/mm]
>
> (ii): [mm]f(0_v)=f(0*0_v)[/mm]
> = [mm]0*f(0_v)[/mm]
> [mm]=0_w[/mm]
>
> Ich denke man muss zeigen, dass
> 1. f linear, dann gelten (i) und (ii)
> 2. es gelten (i) und (ii), dann ist f linear
O.K.
>
> 2. hab ich ja mit obigem bewiesen. Laut meiner Tutorin,
> darf man auch nicht einfach die "=" durch Äquivalenzpfeile
> ersetzen. Aber ich verstehe nicht, wie ich den anderen
S.o. Aequivalenzpfeile sehe ich hier gar nicht.
> Punkt dann beweisen soll.
> Ich wäre um jede Hilfe sehr dankbar!!
>
> Lieben Gruß
>
> Katrin
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