Lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Do 19.01.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha \in \IR [/mm] fest vorgegeben. Betrachten Sie die Abbildung [mm] S\alpha: \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] mit
[mm] S\alpha [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{x cos\alpha + y sin\alpha\\ x sin\alpha - y cos\alpha}.
[/mm]
Interpretieren Sie die Abbildung [mm] S\alpha [/mm] geometrisch. Bestimmen Sie sich hierzu zunächst [mm] S\alpha (e_{1}) [/mm] und [mm] S\alpha (e_{2}), [/mm] wobei [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] die kanonischen Basisvektoren des [mm] \IR^2 [/mm] bezeichnen. Geben Sie dann an, für welche [mm] v\in \IR^2 [/mm] gilt: [mm] S\alpha [/mm] (v) = v, und beschreiben Sie die Menge [mm] \{v \in \IR^2 | S\alpha(v) = v \} [/mm] geometrisch. |
Hallo,
also ich habe schon folgende Überlegungen angestellt. Erstmal sind [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] aus [mm] \IR^2 [/mm] folgendermaßen darstellbar: [mm] e_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}. [/mm] Daraus ergibt sich nun [mm] S\alpha (e_{1}) [/mm] mit [mm] \vektor{cos\alpha \\ sin\alpha} [/mm] und [mm] S\alpha(e_{2}) [/mm] mit [mm] \vektor{sin\alpha \\ -cos\alpha}.
[/mm]
[mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] kann ich im Koordinatensystem geometrisch darstellen. Wie sieht es nun mit [mm] S\alpha(e_{1}) [/mm] und [mm] S\alpha(e_{2}) [/mm] aus? Betrachte ich [mm] \alpha [/mm] als Winkel? Muß ich mir jetzt noch ein beliebiges z.B. v wählen damit ich etwas geometrisch darstellen kann?
Nur noch mal der Form halber, geometrisch interpretieren heißt doch aufzeichnen oder verstehe ich das falsch?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß Vicky
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 19.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Vicky,
deine Überlegungen sind bisher auch richtig, in der Aufgabe steht jedoch, dass Alpha fest vorgegeben sei - wenn du dies also tatsächlich veranschaulichen willst bzw. musst, dann musst du dir auch einen Winkel Alpha wählen - z.B [mm] $\alpha [/mm] =45$ und dann kannst du [mm] $S_{45}(e_1)$ [/mm] auch malen ...
geometrisch interpretieren bedeutet nicht aufzeichnen - vielmehr hilft dir das Aufzeichnen von ein paar Beispielen bei der Findung der geometrischen Bedeutung der Abbildung..
Also : gegeben eine Vektor in der Ebene - was macht die Abbildung mit diesem ?
(Die Formel steht ja schon da - du sollst ein paar Worte hierfür finden also eine nicht formale Beschreibung)
viele grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 19.01.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen Dank schon mal für die Antwort.
Also ich nehme mir meinetwegen den Vektor v = [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] , kann ich dafür auch Werte einsetzen bzw. den Basisvektor als gewählten Vektor nehmen? Weiterhin habe ich mir nun ein [mm] \alpha [/mm] festgelegt mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] \pi. [/mm] Also ich weiß ja das der Cosinus von [mm] \pi [/mm] = -1 ist und der Sinus von [mm] \pi [/mm] = 0. Das heißt [mm] S\pi(e_{1}) [/mm] = (-1,0). Das kann ich ja nun einzeichnen in mein Koo.-system. Ich könnte jetzt sagen, dass der Basisvektor [mm] e_{1} [/mm] durch die Abbildung gedreht wurde aber woher weiß ich, dass es nicht auch manchmal gespiegelt wurde?
Lege ich v auch manchmal durch v = [mm] v_{1}e_{1} [/mm] + [mm] v_{2}e_{2} [/mm] fest, also ist das möglich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo vicky!
Mist, ich hatte mich verlesen bei der Abbildung. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Man kann jeden Vektor $v [mm] \in \IR^2$ [/mm] in der Form $v = [mm] v_1 \cdot e_1 [/mm] + [mm] v_2 \cdot e_2$ [/mm] darstellen, das ist richtig. Daher genügt bei linearen Abbildungen die Kenntnis, was diese Abbildung mit [mm] $e_1$ [/mm] und [mm] $e_2$ [/mm] macht.
Allgemeiner: Eine lineare Abbildung ist durch die Angabe der Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 19.01.2006 | | Autor: | vicky |
Also ich komme der Sache schon näher. Eine Frage habe ich allerdings noch. Wenn ich für [mm] \alpha [/mm] nun [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] einsetze, dann erhalte ich doch eine Spiegelung oder habe ich da was falsch gerechnet? [mm] S_{\bruch{\pi}{2}}(e_{1}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] und [mm] S_{\bruch{\pi}{2}}(e_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}. [/mm] Und das ergibt doch eine Spiegelung oder nicht?
Und welche v [mm] \in \IR^2 [/mm] für die gilt: [mm] S\alpha(v) [/mm] = v gibt es dann, also wie gebe ich die an? Ich habe doch nur für [mm] \alpha [/mm] Werte eingesetzt und mein v bleibt doch gleich oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, du hast Recht, ich hatte nicht genau genug hingeschaut und die Passage in meinem alten Posting jetzt wieder gelöscht. Nun fehlt mir leider die Zeit um darauf noch zu antworten, aber es hilft dir sicherlich jemand anderes weiter...
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Paulus |
Hallo Vicky
ich denke, du solltest nicht einen speziellen Winkel nehmen, der dann zufälligerweise eine ganz bestimmte Abbildung liefert, sondern eine Aussage machen, die für jeden Winkel gilt, wenn er fix gewählt worden ist.
Kommst du nicht durch einige Zeichnungen darauf, dass man die Zeichenebene zunächst an der x-Achse spiegeln kann, und anschliessend das Ganze um den Winkel alpha gegen den Uhrzeiger dreht?
Dann kommen doch die Basisvektoren an den gewünschten Ort, und die Abbildung ist als Hintereinander ausführen von zwei linearen Abbildungen wieder eine Lineare Abbildung.
Überprüfe das doch bitte einmal, und dann kannst du dir sicher ganz leicht überlegen, wo bei gegebenem alpha die Vektoren liegen müssen, dass sie durch diese zweigeteilte Abbildung auf sich selber abgebildet werden. Vermutlich bilden sie eine Ursprungsgerade, die mit der x-Achse den Winkel alpha-halbe einschliesst.
Gruss
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Fr 20.01.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen Dank für eure Antworten. Ihr habt mir wirklich sehr geholfen.
Liebe Grüße Vicky
|
|
|
|
