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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Abbildung
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Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Di 19.12.2006
Autor: Fuffi

Aufgabe
Gibt es eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} \to IR^{3} [/mm] mit
[mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 2} [/mm] , [mm] f(\vektor{2 \\ -1 \\ -1}) [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ 7 \\ 1} [/mm] und [mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 1} [/mm] so dass

a) f ein Isomorphismus ist?
b) f kein Isomorphismus ist?  

Wie gehe ich an diese Aufgabe ran. Ich habe eine Abbildungsmatrix ausgerechnet, die wie folgt aussieht:

[mm] \pmat{ -1 & a_{2} & 4-a_{2} \\ 4 & a_{5} & 1-a_{5} \\ 1 & a_{8} & 1-a_{8}} [/mm]

Bringt die mich irgendwie weiter? Was muss ich jetzt machen?
Fuffi


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Di 19.12.2006
Autor: angela.h.b.


> Gibt es eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to IR^{3}[/mm] mit
> [mm]f(\vektor{1 \\ 1 \\ 1})[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 5 \\ 2}[/mm] ,
> [mm]f(\vektor{2 \\ -1 \\ -1})[/mm] = [mm]\vektor{-6 \\ 7 \\ 1}[/mm] und
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1 \\ 1})[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ 1}[/mm] so dass
>  
> a) f ein Isomorphismus ist?
>  b) f kein Isomorphismus ist?

Hallo,

jede lineare Abbildung ist durch die Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.

Du kannst feststellen, daß [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -1 \\ -1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] keine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] sind.
Einer der drei Vektoren ist von den anderen beiden linear abhängig.

Ich würde mich zunächst davon überzeugen, daß der Wert auf dem abhängigen Vektor sinnvoll ist, also den Linearitätsbedingungen nicht widerspricht.

Als nächstes kannst du die beiden unabhängigen Vektoren zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen.

Nun definierst Du den Wert der Funktion auf Deinem Ergänzungsvektor.

a) Kannst Du den Wert so definieren, daß das Bild die Dimension drei hat?
b) kannst Du den Wert so definieren, daß das Bild nicht die Dimension drei hat?

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:07 Mi 20.12.2006
Autor: Fuffi

Danke für die Antwort. Du hast mir echt weitergeholfen.
Fuffi

Bezug
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