Lineare Abbildung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Do 18.10.2007 | | Autor: | Limboman |
Hallo
Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe und verstehe nicht wie ich hier anfangen soll! Kann mir bitte jemand dabei helfen?
Aufgabe:
Sei [mm] V=\IQ[X]. [/mm] Gibt es eine lineare Abbildung [mm] \emptyset: V\to\IQ^{2} [/mm] mit
[mm] \emptyset(X^{3}+X^{2})=\vektor{2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \emptyset(3X^{2}+2X)=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \emptyset(X^{3}+6X)=\vektor{0 \\ 0}?
[/mm]
Wenn ja bestimmen sie eine solche und geben sie [mm] \emptyset(1),\emptyset(X),\emptyset(X^{2}) [/mm] und [mm] \emptyset(X^{3}).
[/mm]
Ich verstehe schon nicht was mir die drei Gleichungen sagen sollen. Also bitte helft mir. Wie muß ich da anfangen? Vielleicht bekomme ich es dann von selbst hin.
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Do 18.10.2007 | | Autor: | Limboman |
Ich hätte noch etwas erwähnen sollen!
Ich weiß zum Beispiel das Basis von [mm] \IQ[X] {1,x,x^{2},...} [/mm] ist. also kann ich das doch bestimmt auch so schreiben
(0,0,1,1,0,...) für das [mm] (X^{3}+x^{2}). [/mm] Aber jetzt bin ich wirklich mit meinem Latein am ende.
|
|
|
| |
|
> Aufgabe:
> Sei [mm]V=\IQ[X].[/mm] Gibt es eine lineare Abbildung [mm]\emptyset: V\to\IQ^{2}[/mm]
> mit
> [mm]\emptyset(X^{3}+X^{2})=\vektor{2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\emptyset(3X^{2}+2X)=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\emptyset(X^{3}+6X)=\vektor{0 \\ 0}?[/mm]
>
> Wenn ja bestimmen sie eine solche und geben sie
> [mm]\emptyset(1),\emptyset(X),\emptyset(X^{2})[/mm] und
> [mm]\emptyset(X^{3}).[/mm]
>
> Ich verstehe schon nicht was mir die drei Gleichungen sagen
> sollen. Also bitte helft mir. Wie muß ich da anfangen?
> Vielleicht bekomme ich es dann von selbst hin.
Hallo,
zuerst zu den drei Gleichungen.
Du hast eine lineare Abbildung [mm] \Phi, [/mm] welche vom Vektorraum der Polynome (vom Höchstgrad 3 vermute ich mal...) über [mm] \IQ [/mm] in den [mm] \IQ^2 [/mm] geht.
Oben sind nun die Funktionswerte auf drei Elementen aus [mm] \IQ[x] [/mm] angegeben.
Nun solltest Du erstmal prüfen, ob die drei Vektoren aus [mm] \IQ[x] [/mm] linear unabhängig sind.
_Falls sie das nicht sind, müssen augrund der Linearität der Abbildung die Funktionswerte entsprechend linear kombiniert sein, wenn solch eine Abbildung möglich sein soll.
Ein kl. Beispiel hierzu.
Sei f: [mm] \IQ[x]\to \IR, [/mm]
f(x)=1, [mm] f(x^2)=4, f(2x^2-x)=10, [/mm] so kann diese keine lineare Abbildung sein, denn es müßte im Falle der Linearität gelten: [mm] f(2x^2-x)=2f(x^2)-f(x)=8-1=7.
[/mm]
Ich hoffe, daß dieses Beispiel deutlich macht, worauf es ankommt.
- Falls aber die Vektoren [mm] X^{3}+X^{2}, 3X^{2}+2X [/mm] und [mm] X^{3}+6X [/mm] linear unabhängig sind, bist Du aus dem Schneider.
Es ist ja jede lineare Abbildung durch die Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt, d.h. Du kannst, in dem Du die Vektoren zu einer Basis ergänzt und den Ergänzungsvektoren einfach irgendwelche Funktionswerte zuweist, in eindeutiger Art eine lineare Abbildung definieren.
Wenn Du dann angeben sollst, was [mm] \Phi(1) [/mm] ist, guckst Du, wie sich 1 als lLinearkombination Deiner Basis schreibt und berechnest die Funktionswerte entsprechend.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
