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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | 1.)
Es sei f die lineare Abbildung, die bzgl der Standardbasis von [mm] \IR³ [/mm] die Matrixdarstellung [mm] A=(a_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{ij}=5 [/mm] für alle i,j [mm] \in [/mm] {1,2,3} besitzt. Dann ist
a) f injektiv
b) f surjektiv
c) f weder injektiv noch surjektiv
2.)
Die Matrix der linearen Abbildung f: [mm] \IR² \to \IR² [/mm] , (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x-y,x+y) ist bzgl der Standardbasis [mm] {e_{1} , e_{2}} [/mm] von [mm] \IR² [/mm] durch die Matrix A = [mm] (a_{ij}) [/mm] mit folgenden Einträgen gegeben
a) [mm] a_{11} [/mm] = 1 , [mm] a_{12} [/mm] = 1 , [mm] a_{21} [/mm] = 1 , [mm] a_{22} [/mm] = 1
b) [mm] a_{11} [/mm] = 1 , [mm] a_{12} [/mm] = -1 , [mm] a_{21} [/mm] = 1 , [mm] a_{22} [/mm] = 1
c) [mm] a_{11} [/mm] = -1 , [mm] a_{12} [/mm] = 1 , [mm] a_{21} [/mm] = 1 , [mm] a_{22} [/mm] = 1
3.)
Es seien V,W zwei drei-dimensionale Vektorräume mit angeordneten Basen [mm] {v_{1} , v_{2} , v_{3}} [/mm] und [mm] {w_{1} , w_{2} , w_{3}} [/mm] . Es sei f die lineare Abbildung mit [mm] f(v_{1})=w_{1} [/mm] , [mm] f(v_{2})=w_{3} [/mm] , [mm] f(v_{3})=w_{2} [/mm] . Dann ist die Matrix von f bzgl der gewählten Basen gegeben durch [mm] A=(a_{ij}) [/mm] mit
a) [mm] a_{11} [/mm] = [mm] a_{22} [/mm] = [mm] a_{33} [/mm] = 1 , [mm] a_{ij}=0 [/mm] sonst
b) [mm] a_{11} [/mm] = [mm] a_{22} [/mm] = 1, [mm] a_{ij}=0 [/mm] sonst
c) [mm] a_{11} [/mm] = [mm] a_{23} [/mm] = [mm] a_{32} [/mm] = 1 , [mm] a_{ij}=0 [/mm] sonst
4.)
Es sei V ein n-dimensionaler [mm] \IK-VR [/mm] und [mm] Id_{V} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V die Identitätsabbildung. Es sei B eine angeordnete Basis von V. Dann ist die Matrix von [mm] Id_{V} [/mm] bzgl B gegeben als
a) [mm] A=(a_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{11} [/mm] = [mm] a_{22} [/mm] = ....= [mm] a_{nn} [/mm] = 1 und [mm] a_{ij} [/mm] = 0 sonst
b) das hängt von der Basis B ab
c) [mm] A=(a_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{ij} [/mm] = 0 für alle i,j |
Hallo zusammen!
Das sind wieder multiple choice aufgaben!
Zu 2)
hier ist b richtig...einfach die kanonische basis einsetzen...
zu 3)
hier ist c) richtig...hier kann man sich die matrix aufschreiben und man sieht dann leichter das die erste spalte der matrix gerade das bild von [mm] v_{1} [/mm] ist und das auf [mm] w_{1} [/mm] abgebildet wird usw.
zu 4)
hier bin ich mir nicht ganz sicher. Ich denke das hängt von der Wahl der Basis ab. also ist b richtig. Ist a) auch richtig weil das ja gerade die einheitsmatrix ist und das gerade die Identitätsabbildung???
zu 1)
Das ist ja die Matrix: [mm] \pmat{ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 }. [/mm] Wie kan ich den prüfen ob die matrix surjektiv bzw injektiv ist?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Di 27.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1 überleg einfach wohin die 3 Standart Basisvektoren abgebildet werden?
kann es dann injektiv sein, kann es dann surjektiv sein?
Bei 4 ist nur a richtig, denn es ist ja in B gefragt.
zu 3 was weisst du denn über w1; w2; w3 deine Antwort bildet v1, v2 , v3 auf v1,v3,v2 ab, soweit ich sehe. solange man nichts über die w weiss kann ich nix über die Matrix sagen. a) bildet auf sich selbst ab, b ist sicher falsch, bliebe wenn eine Antwort richtig ist nur c) übrig mir entgeht aber warum.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Danke für die schnelle antwort!
Als [mm] f(e_{1}) [/mm] wird nach (5,0,0) abgebildet, [mm] f(e_{2}) [/mm] wird nach (0,5,0) abgebildet und [mm] f(e_{3}) [/mm] wird nach (0,0,5) abgebildet. surjektiv heisst ja dass [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X y = f(x) als ist zb [mm] f(e_{1}) [/mm] surjektiv so wie auch die anderen. Injektivität ist eine eineindeutige zuordnung von f. Demnach auch injektiv! Ist das so richtig?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Bilder sind falsch! das wäre, wenn nur auf der Diagonalen 5 stünde!
such nochmal das Bild der drei Einheitsvektoren!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi!
Also [mm] 5*e_{1}+5*e_{2}+5*e_{3} [/mm] gibt den vektor (5,5,5). es muss ja die matrix rauskommen die nur fünfen erhält! Meinst du das so?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ich meinte ist dass die Matrix aus nur 5 e1 nach [mm] (5,5,5)^T [/mm] abbildet e2 auch und e3 auch.
Abbildung von f(e1) meinst du doch nicht, sondern die Abb. f, gegeben durch die matrix mit den 5en bildet e1 ab auf...
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mi 28.11.2007 | | Autor: | yazgan1 |
Also , ich fasse es mal kurz zusammen [wer würd das schon sonst hier machen ;))) ]
1. Aufgabe ist nur c) richtig
2. Aufgabe ist nur b) richtig
3. Aufgabe ist nur c) richtig
4. Aufgabe ist nur a) richtig ...
Wenn ich mich vertippt habe, bitte SCHREIEN !!
Liebe Grüße
Mr.Yazganoooo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi Deniz!
Vielen Dank für die antwort!
Aber kannst du mir mal kurz erläutern wie du auf die 1 gekommen bist. wie hast du das gerechnet? ich weiss wie die matrix aussieht...und weiter?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Seiko |
also meine vermutungen sind...
zu 1 ) meiner meinung nach b) weil,
wir nehmen einfach die einheitsmatrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] und die soll durch ne lineare abb. so dargestellt werden [mm] \pmat{ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
zu 2) hab ich b) c) da man doch [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] abbilden kann
zub 3) c)
zu 4) dürfte a) sein
wenn ich was falsch verstanden habe oder so sagt bescheid XD
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Seiko |
ich wollte ma nachfragen, wieso ihr bei nr 2 die b) als einzige antwort habt... man kann doch [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] abbilden...oder sehe ich das falsch.. somit hätte ich b) und c)...
ja und bei der 1 würde ich nur b) sagen, da nach meiner ansicht injektiv nicht geht... hab meine antworten auch hier gepostet...
nur meinen einige was anderes und da wird man unsicher :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi!
Du hast doch bei der 2 die Basis { [mm] e_{1},e_{2} [/mm] } und nicht { [mm] e_{2},e_{1} [/mm] }
Bei 1 bin ich mir auch nicht sicher? Wie ist denn deine rechnung zu 1?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Seiko |
ja ich bilde die einmal die einheitsmatrix aus den beiden basis vektoren... also [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] aber ich kann ja auch [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] bilden....und wenn ich die nun durch die vorschrift jeweils "schicke" bekomme ich doch b und c raus... was denkst du über die 1 ? meine injektiv kann doch nicht sein wenn die dim von 3 auf 1 geht...sondern nur surj.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
deine rechnung zu 2 ist logisch aber in der vorlesung hatten wir auch ein beispiel mit der kanonischen basis des [mm] \IR³ [/mm] da hatten wir auch nur [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] ich denke das die kanonische basis angeordnet ist..bei 1 ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Seiko |
ach sorry zu 1 hab mich verlesen.. ehm noch kurz zu 2.. sehe aber nicht, dass die "reihenfolge" da wichtig ist, es steht lediglich e1 und e2... somit wäre meine denkweise doch möglich oder?
also zu 1... hatte oben gepostet das man doch die einheitsmatrix hat.. und die "5er" matrix hat den rang 1... also in matrix geschrieben [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }.. [/mm] also is doch die dim = 1 also [mm] f(e_{1} [/mm] = [mm] f(e_{2} [/mm] => e1 = e2 wäre ja hier falsch da man 2 null vektoren hat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Ja damit hätten wir dann die 1 geklärt die c ist nur richtig :). bei 2 hast du mich jetzt verunsichert ;). Jetzt weiss ichs auch nicht mehr...möglich ist das schon...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Seiko |
also is nur ne denkweise ne XD also wenns falsch is reiß mir net den kopf ab :P
zu 1 nochma
Die Matrix der linearen Abbildung f: $ [mm] \IR² \to \IR² [/mm] $ , (x,y) $ [mm] \mapsto [/mm] $ (x-y,x+y) ist bzgl der Standardbasis $ [mm] {e_{1} , e_{2}} [/mm] $ von $ [mm] \IR² [/mm] $ durch die Matrix A = $ [mm] (a_{ij}) [/mm] $ mit folgenden Einträgen gegeben
also das klingt nicht so als wäre die reihenfolge von bedeutung... also könnte beide matrizen nehmen...
eiei ei die zeit .so spannend um die uhrzeit noch xD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Seiko |
eii was seh ich da wieso c ) >_> meine doch b) ! :P sag mir schnell wieso surj, net sein kann...denn es gibt surj, abb. die dim 3 -> dim 1 haben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Do 29.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
bei 2 war wohl dann doch nur die b richtig. Ich denke nicht das man die vektoren einfach so vertauschen kann das sind dann ja 2 verschiedene matrizen..
bei eins hab ich nur geraten und zum glück richtig :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Do 29.11.2007 | | Autor: | Seiko |
na das war mal bei mir ein griff ins klo :P
sry bei der einen...kam halt nicht so rüber, als wäre die reihenfolge wichtig....
zu 1..weisste denn noch wieso die net surj. sein kann ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Do 29.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
das wär auch fies wenn man noch auf die reihenfolge achten müsste...ich wär nie darauf gekommen. in der vorlesung hatten wir auch nur die eine basis so besprochen als e1,e2,e3...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Do 29.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die erste Matrix bildet [mm] (x,y)^T [/mm] auf [mm] (x,y)^T [/mm] ab, die zweite auf [mm] (y,x)^T
[/mm]
nicht auf die geforderten Vektoren! also sind sie für diese Frage falsch.
Gruss leduart
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