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Hallo. Ich habe ein riesen Problem. Und zwar versteh ich einfach nicht die Definition zu linearen Abbildungen. Ich hatte dazu schonmal einen Thread aufgemacht und war auch der Meinung es verstanden zu haben! Aber irgendwie schein ich mich getäuscht zu haben.
Def.: Eine Abbildung L von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^m [/mm] heißt lineare Abbildung für alle [mm] \vec{u},\vec{v} \in K^n, \Lambda \in [/mm] K gilt:
[mm] L(\vec{u}+\vec{v})=L(\vec{u})+L(\vec{v})
[/mm]
[mm] L(\Lambda\vec{v})=\Lambda L(\vec{v})
[/mm]
Was zu beweisen ist, ist mir klar. Wir hatten in dem Thread ein Beispiel, dass mir dann zum Ende hin immer verwirrender vorkam. Ich versteh das einfach nicht. Vielleicht könnt ihr mir ja mal helfen. Also sagen wir mal, ich habe eine Abbildung von [mm] \IR^3 [/mm] nach [mm] \IR^2 [/mm] und soll prüfen, ob diese linear oder nicht ist. im Prinzip bedeutet das ja:
[mm] L\vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3}=\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
Aber was müsste ich jetzt machen, um eines meiner Definitionen prüfen zu können? Denn das führt mich ja jetzt noch nicht großartig weiter.
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Hallo,
> [mm]L\vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
damit sagst du nur, dass L einem Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] einen Vektor aus [mm] \IR^2 [/mm] zuordnet. Du gibst dadurch noch keine konkrete Abbildung vor, kannst also auch nicht beweisen (müssen), dass sie linear ist.
Gruß korbinian
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Okay und wie könnte ich da jetzt komkret rangehen um das beweisen zu können? Ich muss ja zunächst irgendwie zeigen, dass:
[mm] L(\vec{u}+\vec{v})=L(\vec{u})+L(\vec{v})
[/mm]
Das es also egal ist, in welcher Reihenfolge ich rechne. Aber wie komme ich dort hin? Ich brauch irgendwie erstmal einen Ansatz damit ich weiß, wie ich weiter vorgehen kann.
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Hallo domenigge,
einfach loslegen 
Nimm dir also 2 beliebige Vektoren [mm] $\vec{u}=\vektor{u_1\\u_2\\u_3} [/mm] $ und [mm] $\vec{v}=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}\in\IR^3$ [/mm] her und prüfe die Bedingung nach.
Einfach einsetzen und ganz geradeheraus nachrechnen, mehr ist das nicht
[mm] $L(\vec{u}+\vec{v})=L\left(\vektor{u_1\\u_2\\u_3}+\vektor{v_1\\v_2\\v_3}\right)=L\left(\vektor{u_1+v_1\\u_2+v_2\\u_3+v_3}\right)$
[/mm]
denn so komponentenweise ist ja die Addition von Vektoren definiert
[mm] $=\vektor{u_1+v_1\\u_2+v_2}$\qquad [/mm] so hast du die Abbildung definiert
[mm] $=\vektor{u_1\\u_2}+\vektor{v_1\\v_2}$\qquad [/mm] wieder Definition der Addition von Vektoren
[mm] $=L(\vec{u})+L(\vec{v})$
[/mm]
Ganz ganz ähnlich prüfe nun mal die andere Bedingung:
Gilt [mm] $L(\lambda\cdot{}\vec{u})=\lambda\cdot{}L(\vec{u})$ [/mm] für beliebige [mm] $\lambda\in\IR, \vec{u}\in\IR^3$ [/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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Gut ich habe dazu nur noch 3 kurze Fragen:
1. Ich kann mir also einen beliebigen Vektor dazuholen um die Addition auszuführen
2. [mm] L\vektor{\vektor{u_1+v_2 \\u_2+v_2 \\u_3+v_3 }} [/mm] wird deshalb [mm] \vektor{u_1+v_1 \\u_2+v_2}, [/mm] weil die Abbildung ja von [mm] \IR^3 [/mm] ins [mm] \IR^2 [/mm] geht. Hätte ich also eine Abbildung von [mm] \IR^3 [/mm] ins [mm] \IR^3 [/mm] müsste dann dastehen [mm] L\vektor{\vektor{u_1+v_2 \\u_2+v_2 \\u_3+v_3 }}=\vektor{u_1+v_1 \\u_2+v_2 \\u_3+v_3}
[/mm]
3. Ich habe erfahren, dass [mm] L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}=\vektor{u_1 \\u_2},
[/mm]
[mm] L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}=\vektor{u_1+u_2 \\u_2+u_3},L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}=\vektor{0 \\0}. [/mm] Was hat es damit auf sich?
Nun zur Rechnung:
[mm] L(\Lambda\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3})=L\vektor{\Lambda u_1 \\\Lambda u_2 \\\Lambda u_3}=\vektor{\Lambda u_1 \\\Lambda u_2}=\Lambda \vektor{u_1 \\u_2}=\Lambda L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}
[/mm]
Also Linear.
Hättet ihr 2 oder 3 Beispiele, an denen ich das probieren könnte wäre echt nett. Vielleicht sogar mit [mm] x\in\IR
[/mm]
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> Gut ich habe dazu nur noch 3 kurze Fragen:
> 1. Ich kann mir also einen beliebigen Vektor dazuholen um
> die Addition auszuführen
> 2. [mm]L\vektor{\vektor{u_1+v_2 \\u_2+v_2 \\u_3+v_3 }}[/mm] wird
> deshalb [mm]\vektor{u_1+v_1 \\u_2+v_2},[/mm] weil die Abbildung ja
> von [mm]\IR^3[/mm] ins [mm]\IR^2[/mm] geht. Hätte ich also eine Abbildung von
> [mm]\IR^3[/mm] ins [mm]\IR^3[/mm] müsste dann dastehen
> [mm]L\vektor{\vektor{u_1+v_2 \\u_2+v_2 \\u_3+v_3 }}=\vektor{u_1+v_1 \\u_2+v_2 \\u_3+v_3}[/mm]
Das kann man machen. Dann wäre L die Identität den L(v)=v [mm] \Rightarrow [/mm] L=id
>
> 3. Ich habe erfahren, dass [mm]L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}=\vektor{u_1 \\u_2},[/mm]
>
> [mm]L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}=\vektor{u_1+u_2 \\u_2+u_3},L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}=\vektor{0 \\0}.[/mm]
> Was hat es damit auf sich?
Wie kommst du auf diese Umformung [mm] L(\vektor{ u_{1} \\ u_{2}\\ u_{3}}) [/mm] = [mm] \vektor{u_{1}\\ u_{2}}, [/mm] wenn man die Abbildung von Oben nimmt.
>
> Nun zur Rechnung:
> [mm]L(\Lambda\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3})=L\vektor{\Lambda u_1 \\\Lambda u_2 \\\Lambda u_3}=\vektor{\Lambda u_1 \\\Lambda u_2}=\Lambda \vektor{u_1 \\u_2}=\Lambda L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}[/mm]
>
> Also Linear.
>
Stimmt.
> Hättet ihr 2 oder 3 Beispiele, an denen ich das probieren
> könnte wäre echt nett. Vielleicht sogar mit [mm]x\in\IR[/mm]
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Ja konntest du nicht wissen. Wir hatten in einem Thread davor die Abbildung von [mm] \IR^3 [/mm] nach [mm] \IR^2 [/mm] deshalb bin ich darauf gekommen das mit [mm] \IR^3 [/mm] nach [mm] \IR^3 [/mm] hatte ich nur zum verständnis für mich angegeben.
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Nein ich meinte:
$ [mm] L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}=\vektor{u_1+u_2 \\u_2+u_3},L\vektor{u_1 \\u_2 \\u_3}=\vektor{0 \\0}. [/mm] $
wie kommste darauf. Das würde mich mal interessieren.
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Naja wir hatten das so als Randbemerkung in der VL. Ich das war eigentlich nicht weiter wichtig. Der Prof. wollte damit glaube ich nur zeigen, dass [mm] x_3 [/mm] frei wählbar ist.
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