Lineare Abbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo leute ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:
Wir betrachten die Matrix
A=
1 2 -1
2 4 -2
-1 -2 1
(a) Bestimme eine Basis des Kerns von A und Rang(A).
Kann mir jemand sagen wie ich vorgehen soll bitte. |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Adamantin |
> Hallo leute ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:
>
> Wir betrachten die Matrix
>
> A=
>
> 1 2 -1
> 2 4 -2
> -1 -2 1
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> (a) Bestimme eine Basis des Kerns von A und Rang(A).
>
> Kann mir jemand sagen wie ich vorgehen soll bitte.
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Dieses Forum funktioniert nicht auf Anfrage für eine Lösung sondern auf Rückfrage bei eigenen Problemen. Also wie sehen deine bisherigen Lösungsansätze aus, was hast du bisher? Du wirst doch wissen, wie der Kern von A definiert ist? Nämlich über die Lösung des zugehörigen homogenen LGS. Dann löse das mal und wir sehen weiter...
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Ich hab das Lgs gelöst und folgende Werte raus: x1 = -2
x2= 1 X3 = 0. Aber wie gehe ich jetzt weiter vor ?
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Hallo,
> Ich hab das Lgs gelöst und folgende Werte raus: x1 = -2
> x2= 1 X3 = 0. Aber wie gehe ich jetzt weiter vor ?
welches LGS? Also das ist auf jeden Fall falsch, was du hier machst.
Weißt du denn, was man unter dem Kern einer (linearen) Abbildung versteht? Daraus folgt doch sofort, dass man ein ganz bestimmtes LGS für diese Koeffizientenmatrix betrachten muss. Und das kann niemals eine solche Lösungsmenge besitzen, wie die, die du da angegeben hast.
Also: Skript/Buch/Unterlagen durchsehen nach der Definition des Kerns. Dann nochmal drüber nachdenken und vielleicht findest du dann den richtigen Ansatz. Wie gesagt, wenn man weiß, was der Kern einer linearen Abbildung ist, dann ist das sowas von naheliegend, dass sich alles von selbst ergibt.
Wie du den Rang bekommst, ist dir klar?
Im übrigen möchte ich dem, was Adamantin geschrieben hat, ausdrücklich zustimmen.
Gruß, Diophant
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> Hallo leute ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:
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> Wir betrachten die Matrix
>
> A=
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> 1 2 -1
> 2 4 -2
> -1 -2 1
>
> (a) Bestimme eine Basis des Kerns von A und Rang(A).
>
> Kann mir jemand sagen wie ich vorgehen soll bitte.
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
vlt ne kleine Stütze:
betrachte deine Zeilen:
> 1 2 -1
> 2 4 -2
> -1 -2 1
Lass die erste, so wie sie ist. Teile die zweite Zeile durch 2, und multipliziere die dritte Zeile mit (-1) . Dir wird auffallen, dass dann in jeder Zeile nach diesen elemt. Zeilenoperationen die gleiche Zeile steht. Dies sollte dir beim Rang der Matrix sehr helfen als auch beim Berechnen des Kerns.
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Ich hatte bei meiner rechnung eine Zeilenumformung gemacht :
1 + 3Zeile
1 2 -1
2 4 -2
-1 -2 1
1 2 -1
2 4 -2
0 0 0
Dann LGS gemacht: und das rausbekommen:
(
-2
1
0
Was habe ich jetzt genau falsch gemacht?
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> Ich hatte bei meiner rechnung eine Zeilenumformung gemacht
> :
> 1 + 3Zeile
>
> 1 2 -1
> 2 4 -2
> -1 -2 1
>
>
> 1 2 -1
> 2 4 -2
> 0 0 0
Bis hierhin ist ja ok, da brauch man ja nichts rechnen, man sieht sofort dass die erste und dritte Zeile identisch sind ;)
>
> Dann LGS gemacht: und das rausbekommen:
??? Welches LGS denn? Du meinst das homogene? Das ist immer noch zu früh. Kannst du natürlich, aber die Lösung ist falsch weil:
Jetzt rechne dochmal:
2*(1)-(2)
Was kommt raus? 0!!!
>
> (
>
> -2
>
> 1
>
> 0
>
> Was habe ich jetzt genau falsch gemacht?
>
Weiß ich nicht, es ist immer noch unklar, welches LGS du berechnest. Folge dem Tipp von mir und meiner Vorrednerin und erkenne. Du meinst wahrscheinlich das richtige, aber du rechnest falsch.
Die Matrix besteht nur aus einem einzigen lin. unabhängigen Vektor und das ist (1,2,-1). Das erhälst du auch mittels Zeilenumformung.
Damit haben wir welche Dimension des Ranges? Was folgt nach dem Dimensionssatz damit für den Kern?
Du kannst auch direkt den Kern berechnen, dann musst du $Ax=0$ lösen (als Vektoren). Das führt auf 2 Freiheitsgrade...
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Die Matrix besteht nur aus einem einzigen lin. unabhängigen Vektor und das ist (1,2,-1).
Woran erkennt man das?
Damit haben wir welche Dimension des Ranges?
Wie kriegt man den das raus?
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Ok, fangen wir bei 0 an: Was kannst du? Offenbat sind dir ja alle Begriffe fremd.
Also beginnen wir mit Zeilenstufenform. Kannst du nach Gauß die Matrix umformen in eine Zeilenstufenform und daraus den Rang ablesen? Wenn nein....beschäftige dich erstmal damit.
Alternativ: Hier gefragt ist ja erstmal nur der Kern, also kannst du auch das LGS Ax=0 lösen, aber das machst du ja falsch. willst du dieses lösen, erhälst du ein unterbestimmtes LGS, bei dem zwei Variablen zu viel sind, die man frei wählen kann, z.B. y=s und z=t und dann erhält man x in Abhängigkeit. Aber bevor wir dahin kommen, erstmal die ZSF bilden...
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Zeilenstufenform habe ich ja gemacht.
> 1 2 -1
> 2 4 -2
> -1 -2 1
>
>
> 1 2 -1
> 2 4 -2
> 0 0 0
Kannst du nicht dein gelöstes LGS posten , damit ich merke wo der Fehler liegt.
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> Zeilenstufenform habe ich ja gemacht.
>
>
> > 1 2 -1
> > 2 4 -2
> > -1 -2 1
> >
> >
> > [mm] \green{1} [/mm] 2 -1
> > 2 4 -2
> > 0 0 0
Hallo,
das ist noch keine ZSF!
In einer ZSF müssen unter dem führenden Element einer Zeile (hier: grün)
alles Nullen stehen.
Wie kannst Du das mit Zeilenumformungen erreichen?
>
> Kannst du nicht dein gelöstes LGS posten , damit ich merke
> wo der Fehler liegt.
Das schaffst Du schon selbst.
Was mußt Du tun, damit die 2. Zeile mit 0 beginnt?
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:07 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Elektro21 |
1 2 -1
> > 2 4 -2
> > -1 -2 1
3 zeile - 1zeile
0 0 0
> > 2 4 -2
> > -1 -2 1
Ich hoffe du meinst es so.
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Ich hab nochmal mit dem gauß algorithmus ausprobiert und hab das hier:
Ich poste es als datei.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Ich hab nochmal mit dem gauß algorithmus ausprobiert und
> hab das hier:
>
> Ich poste es als datei.
Hallo,
"Datei" ist unpraktisch, weil man nicht reinschreiben und korrigieren kann.
Du planst es richtig, allerdings ist -1*(-2)+2=0, so daß auch die zweite Zeile eine Nullzeile ist.
Das führende Element der Nichtnullzeile (die 1 der ersten Zeile) steht in Spalte 1.
Dann können die 2. und 3.Variable frei gewählt werden.
Die erste Zeile lautet ja ausgeschrieben x+2y-z=0.
Mit
z:=t
y:=s
erhält man daraus
x=-2s+t.
Also haben alle Lösungen [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{-2s+t\\s\\t}=s*\vektor{-2\\1\\0}+t*\vektor{1\\0\\1},
[/mm]
[mm] (\vektor{-2\\1\\0}, \vektor{1\\0\\1}) [/mm] ist eine Basis des Lösungsraumes des homogenen LGS Ax=0, also eine Basis des Kerns.
Der Rang von A ist die Anzahl der Nichtnullzeilen der ZSF.
LG Angela
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Ah danke Angela . Aber kannst du mir nochmal deinen letzen schritt erklären warum du das so umgeformt hast , das habe ich nämlich nicht so richtig verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du denn, was eine Basis des kerns ist, bzw. bedeutet?
schreib das mal auf (oder ab) dann erst kannst du erklärungen verstehen.
Gruss leduart
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Und ich hab noch ein problem die aufgabe geht noch ein wenig weite rund ich weiss leider nicht ie ich vorgehen soll.
(b) Untersuche, ob die linearen Gleichungssysteme Ax = bi , i = 1, 2, lösbar sind, wobei
b1=
1
2
-1
und b2 =
1
-1
1
Weiss jemand was ich hier machen kann .
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du löst jetzt den GS nicht mit Nullen rechts, sondern mit den gegebenen Zahlen rechts.
Wieder mit dem Gauss.
gruss leduart
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Hallo leduart , aber wie sieht denn genau die matrix aus die ich mit gauss lösen soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst keine matrixx lösen!
ich glaube, du hast nich nicht verstanden, was angela für dich gemacht hat. Sie hat das GS A*x=0 für dich gelöst!
dabei schreibt man beim Umformen nicht immer die x,y,z, dau, sondern schreibt sich nur die Matrix auf. (das spart Schreibarbeit
aber in Wirklichkeit löst du doch
1*x + 2*y -1*z=0 und entsprechend die 2 anderen Zeilen.
jetzt musst du A*x=b lösen, also stehen rechts nicht 0 sondern deine 3 Werte von b.
für b1 also
1x + 2y -1z=1
2x + 4y -2z=2
-1y -2y + 1z=-1
Gauss läuft wie bei der vorigen aufgabe, nur die rechte Seite mit umformen.
Gruss leduart
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Ich hab jetzt ein wenig gerechnet :
Für b1 bekomme ich das raus:
Ich hab für y= t und z= s genommen.
Und das rausbekommen:
-2t+s+1
t
s
Jetzt bei b2 habe ich folgende Zeilenstufenform:
1 2 -1 1
0 0 0 3
0 0 0 2
Kann ich jetzt sagen s= 2 und t= 3
Also :
1x1 + 4 -3 = 1
x1= 0
0
3
2
Ist es so richtig ?
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> Ich hab jetzt ein wenig gerechnet :
>
> Für b1 bekomme ich das raus:
>
> Ich hab für y= t und z= s genommen.
> Und das rausbekommen:
>
> -2t+s+1
> t
> s
Hallo,
das, was da steht, ist absoluter Müll, aber wenn Du schreibst
> [mm] \red{x=}-2t+s+1
[/mm]
> [mm] \red{y=}t
[/mm]
> [mm] \red{z=}s,
[/mm]
dann ist es goldrichtig.
(Wenn man genau ist, muß man noch dazuschreiben: [mm] s,t\in \IR.)
[/mm]
Nun schreib es noch mit Vektoren auf:
die Lösungen haben die Gestalt
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\0\\0}+t*\vektor{-2\\1\\0}+s*\vektor{1\\0\\1} [/mm] mit [mm] s,t\in \IR.
[/mm]
(Geometrisch ist das eine Ebene durch den Punkt (1|0|0).)
Das Gleichungssystem, welches Du soeben gelöst hast, ist ein inhomogenes.
Hier gilt, daß man den Lösungsraum bekommt, indem man zu irgendeiner speziellen Lösung des Systems [mm] (hier:\vektor{1\\0\\0}) [/mm] den Lösungsraum des homogenen Systems (hier: [mm] <\vektor{-2\\1\\0},\vektor{1\\0\\1}>, [/mm] die spitzen Klammern stehen für span/Erzeugnis) addiert.
Man kann also schreiben: [mm] L=\vektor{1\\0\\0}+<\vektor{-2\\1\\0},\vektor{1\\0\\1}>.
[/mm]
Du mußt halt gucken, wie Ihr das schreibt.
>
>
> Jetzt bei b2 habe ich folgende Zeilenstufenform:
>
> 1 2 -1 |1
> 0 0 0 |3
> 0 0 0 |2
Man sieht hier zwar schon, was man sehen möchte, aber ZSF ist das noch nicht, denn in der 2.Zeile ist die 3 das führende Element, aber es steht ja noch was anderes als eine Null drunter!
> Kann ich jetzt sagen s= 2 und t= 3.
Du meinst y=2 und z=3?
Nein.
Die zweite Zeile bedeutet nämlich 0*x+0*y+0*z=3 und die dritte 0*x+0*y+0*z=2, also haben wir hier 0=3 und 0=2.
Zurück zur ZSF.
ZSF wäre
1 2 -1 |1
0 0 0 |3
0 0 0 |0
Wenn Du ein LGS auf ZSF gebracht hast, mußt Du immer erstmal prüfen, ob es überhaupt lösbar ist.
Die geschieht mithilfe des Ranges.
Es gilt:
das LGS ist lösbar
<==>
Rang der Koeffizientenmatrix (ohne das hinter dem Strich)=Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (ganze Matrix ).
Überzeuge Dich davon, daß dies hier nicht der Fall ist.
Rang A= ???
Rang [mm] (A|b_2)=???
[/mm]
>
> Also :
>
> 1x1 + 4 -3 = 1
>
> x1= 0
>
>
> 0
> 3
> 2
>
> Ist es so richtig ?
Deine Lösung könntest Du durch Einsetzen ins LGS prüfen.
LG Angela
>
>
>
>
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Hi Angela eine Sache ist mir noch nicht so klar, wie berschneit man genau den Rang ? Ist es einfach die höchste Zahl in der Matrix oder was genau?
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Hi!
> Hi Angela eine Sache ist mir noch nicht so klar, wie
> berschneit man genau den Rang ? Ist es einfach die höchste
> Zahl in der Matrix oder was genau?
"Die höchste Zahl der Matrix" ![[ohwell]](/images/smileys/ohwell.gif "[ohwell]")
Nein, lies dir das doch einfach in deinem Skript nach oder hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Rang_%28Mathematik%29
Valerie
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Dann müsste der Rang 1 sein oder?
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Hallo,
> Dann müsste der Rang 1 sein oder?
wenn du die ursprünglich angegebene Matrix meinst: ja.
Aber auch dir muss man glaube ich mal einen grundsätzlichen Tipp geben (und zwar in deinem eigenen Interesse): Ein Matheforum ist nicht der geeignete Ort, um mathematische Sachverhalte zu erlernen. Den ganzen Stoff rund um Rang, Kern, Bild & Co. kann man sich mit einem guten Buch bewaffnet in einer guten Stunde bei einem Käffchen locker klar machen. Danach löst man solche Aufgaben wie diese hier zum Aufwärmen.
Wie viel Zeit hast du jetzt hier schon reininvestiert? Bitte, es ist deine Zeit. Aber wenn ich so etwas sehe, überkommt mich halt irgendwie das Bedürfnis, darauf hinzuweisen, dass solche Vorgehensweisen einem nicht weiterhelfen.
Wenn du hier von diesem Forum wirklich profitieren möchtest, dann setze dich mit einer Aufgabe selbst erst einmal intensiv auseinander, bevor du sie postest. Dann stelle sie ein inkl. all deiner Erkenntnisse, und schau dir das Feedback an, welches kommt. Setze dich damit wieder intensiv auseinander und stelle ggf. Rückfragen usw.
Man könnte es auch so zusammenfassen: nutze das Forum professioneller. 
Gruß, Diophant
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