Lineare Abbildung + Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Di 17.05.2005 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Folgende Aufgabe:
Sei V der R-Vektorraum aller Polynome P(x) vom Grad <_n.
Es bezeichne [mm] P'(x)=\summe_{i=1}^{n} i*a_i*x^{i-1} [/mm] die Ableitung von P(x). P(x) [mm] \mapsto [/mm] x*P´(x) ist eine lineare Abbildung f
Sei B = { [mm] 1,x,....,x^n [/mm] } die natürliche Basis von V. Berechnen Sie die Matrix von f bezüglich B.
Meine Lösung:
Zunächst dachte ich, die Bilder der Basisvektoren müssten doch die Spalten der Matrix bilden sein, dann ergibt sich aber nicht die Ableitung.
Dementsprechend meine Lösung:
(0 1/x 2/x ..... n/x)
Die Abbildung wäre dann: p(x) [mm] \mapsto \pmat{ 0 & 1/x & 2/x & ... & n/x \\ }* \vektor{a_0 x^0 \\ a_1 x^1 \\ ... \\ a_n x^n}
[/mm]
Aber gibt es eine solche Matrix überhaupt.
Habe hier einige Schwierigkeiten. Würde mich über Hilfe freuen.
Schonmal danke im Voraus. :)
Grüße
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Di 17.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fry!
In den Spalten stehen die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren bezüglich dieser Basis.
Wegen
[mm] $f(x^k) [/mm] = x [mm] \cdot kx^{k-1} [/mm] = [mm] k\cdot x^k$
[/mm]
für [mm] $k=0,1,2,\ldots,n$ [/mm] gilt also:
[mm] $M_B^B(f) [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ddots & 2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ldots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \ldots & 0 & 0 & n}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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