Lineare Abbildung, Basiswechse < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 So 11.07.2010 | | Autor: | flare |
| Aufgabe | In [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] werden durch folgende Vektoren Basen bestimmt b1= [mm] \vektor{2\\1},b2= \vektor{1\\-2}, [/mm] c1= [mm] \vektor{1\\2\\-1} [/mm] c2= [mm] \vektor{-2\\-2\\1}, [/mm] c3= [mm] \vektor{-2\\2\\1} \phi [/mm] sei die lineare Abbildung [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^3: \phi(x,y):=(-x+2y,-x-2y,x-y).
[/mm]
1) Bestimmen Sie die Matrix A von [mm] \phi [/mm] bzgl den Basen B und C
2) Bestimmen Sie die Koordinaten von [mm] \phi(8,4) [/mm] bzgl C.
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Guten Tag und Hiiiiilfeeeee :)
Ich peile leider gar nichts, kann mir jemand erstmal sagen, was ich machen muss?
Ich habe eine Abbildung in der Standardbasis gegeben, [mm] \phi.
[/mm]
Die soll ich jetzt in die Basen B und C wechseln, ist das richtig?
Und wie ist da mein Ansatz?
Wäre echt sehr dankbar, wenn mir jemand den Basiswechsel begreiflich machen können.
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Hallo,
> In [mm]\IR^2[/mm] und [mm]\IR^3[/mm] werden durch folgende Vektoren Basen
> bestimmt b1= [mm]\vektor{2\\1},b2= \vektor{1\\-2},[/mm] c1=
> [mm]\vektor{1\\2\\-1}[/mm] c2= [mm]\vektor{-2\\-2\\1},[/mm] c3=
> [mm]\vektor{-2\\2\\1} \phi[/mm] sei die lineare Abbildung [mm]\IR^2[/mm] ->
> [mm]\IR^3: \phi(x,y):=(-x+2y,-x-2y,x-y).[/mm]
> 1) Bestimmen Sie die
> Matrix A von [mm]\phi[/mm] bzgl den Basen B und C
> 2) Bestimmen Sie die Koordinaten von [mm]\phi(8,4)[/mm] bzgl C.
>
>
> Guten Tag und Hiiiiilfeeeee :)
>
> Ich peile leider gar nichts, kann mir jemand erstmal sagen,
> was ich machen muss?
> Ich habe eine Abbildung in der Standardbasis gegeben,
> [mm]\phi.[/mm]
Ja, sozusagen.
Nur mal so als Übung: Wie sieht denn die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. der Standardbasen der [mm] \IR- [/mm] Vektorräumen [mm] \IR^{2} [/mm] und [mm] \IR^{3} [/mm] aus?.
> Die soll ich jetzt in die Basen B und C wechseln, ist das
> richtig?
> Und wie ist da mein Ansatz?
Es gilt immer derselbe Satz:
Ist [mm] \phi:V\to [/mm] W eine lineare Abbildung und ist B eine Basis von V, C eine Basis von W, so gilt:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix (= A) von [mm] \phi [/mm] stehen die Koordinatenvektoren bzgl. C der Bilder Basisvektoren von B unter [mm] \phi.".
[/mm]
Das heißt auf deutsch: Du bestimmst zunächst die Bilder
[mm] \phi(b_1)
[/mm]
[mm] \phi(b_2)
[/mm]
Das sind die "Bilder der Basisvektoren von B unter [mm] \phi [/mm] ".
Nun sind [mm] \phi(b_1) [/mm] und [mm] \phi(b_2) [/mm] ja Vektoren aus W = [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Du sollst jetzt diese Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl. C schreiben. D.h.:
Finde [mm] \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 [/mm] so, dass
[mm] $\phi(b_1) [/mm] = [mm] \lambda_1*c_1 [/mm] + [mm] \lambda_2*c_2 [/mm] + [mm] \lambda_3*c_3$. [/mm] --> Koordinatenvektor von [mm] \phi(b_1) [/mm] bzgl. C ist [mm] \vektor{\lambda_1\\ \lambda_2 \\ \lambda_3}.
[/mm]
Finde [mm] \mu_1,\mu_2,\mu_3 [/mm] so, dass
[mm] $\phi(b_2) [/mm] = [mm] \mu_1*c_1 [/mm] + [mm] \mu_2*c_2 [/mm] + [mm] \mu_3*c_3$. [/mm] --> Koordinatenvektor von [mm] \phi(b_2) [/mm] bzgl. C ist [mm] \vektor{\mu_1\\ \mu_2 \\ \mu_3}.
[/mm]
(Dazu musst du wahrscheinlich LGS lösen!)
-------> Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. B bzw. C ist [mm] \pmat{\lambda_1 & \mu_1 \\ \lambda_2 & \mu_2 \\ \lambda_3 & \mu_3}
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 11.07.2010 | | Autor: | flare |
Ja, sozusagen.
Nur mal so als Übung: Wie sieht denn die Darstellungsmatrix von $ [mm] \phi [/mm] $ bzgl. der Standardbasen der $ [mm] \IR- [/mm] $ Vektorräumen $ [mm] \IR^{2} [/mm] $ und $ [mm] \IR^{3} [/mm] $ aus?.
Wenn ich die Basisvektoren einsetze, erhalte ich doch
[mm] \pmat{ -1 & 2 \\ -1 & -2\\1 &-1 } [/mm] oder?
Aber was sagt mir das konkret?
Wenn ich nun einen Vektor aus dem [mm] \IR^2 [/mm] damit multipliziere , also quasi [mm] \phi(x) [/mm] bilde , habe ich dann eine Abbildung jeder bzgl der Standardbasis?
Wieso soll ich die Bilder der Vektoren dann nochmal bzgl C angeben?
Noch was anderes.
Ich glaube ich habe in diesem Zusammenhang schon mal die Formel
T^-1 M T=A gesehen.
Wie passt das alles zusammen?
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> Ja, sozusagen.
> Nur mal so als Übung: Wie sieht denn die
> Darstellungsmatrix von [mm]\phi[/mm] bzgl. der Standardbasen der
> [mm]\IR-[/mm] Vektorräumen [mm]\IR^{2}[/mm] und [mm]\IR^{3}[/mm] aus?.
>
>
> Wenn ich die Basisvektoren einsetze, erhalte ich doch
> [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ -1 & -2\\1 &-1 }[/mm] oder?
Hallo,
ja, richtig.
> Aber was sagt mir das konkret?
Wenn Du das Bild von beispielsweise [mm] \vektor{4\\5} [/mm] unter der Abbildung [mm] \phi [/mm] wissen möchtest, also [mm] \phi(\vektor{4\\5}), [/mm] dann bekommst Du es, indem Du [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ -1 & -2\\1 &-1 }*\vektor{4\\5} [/mm] rechnest,
denn die von Dir aufgestellte Matrix ist die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasen des [mm] \IR^2 [/mm] bzw. [mm] \IR^3.
[/mm]
> Wenn ich nun einen Vektor aus dem [mm]\IR^2[/mm] damit
> multipliziere , also quasi [mm]\phi(x)[/mm] bilde , habe ich dann
> eine Abbildung bzgl der Standardbasis?
Du hast das Bild des Vektors in Koordinaten bzgl der Standardbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
>
> Wieso soll ich die Bilder der Vektoren dann nochmal bzgl C
> angeben?
Weil die Aufgabe es von Dir verlangt...
Die Aufgabe will dies: Du sollst die Matrix angeben, die Dir für Vektoren, die in Koordinaten bzgl. B bgegeben sind, deren Bild in Koordinaten bzgl C liefert.
>
>
>
> Noch was anderes.
> Ich glaube ich habe in diesem Zusammenhang schon mal die
> Formel
> T^-1 M T=A gesehen.
> Wie passt das alles zusammen?
Die Buchstaben allein sind ja wenig aussagekräftig...
Sei
[mm] _{E_3}M(\phi)_{E_2} [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl der Standardbasen [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3,
[/mm]
[mm] _CM(\phi)_B [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl der Basen B und C,
[mm] _{E_2}T_B [/mm] die Basistransformationsmatrix, welche Vektoren, die bzgl B gegeben sind, in solche bzgl [mm] E_2 [/mm] umwandelt, und
[mm] _{E_3}T_C [/mm] die Basistransformationsmatrix, welche Vektoren, die bzgl C gegeben sind, in solche bzgl [mm] E_3 [/mm] umwandelt,
dann gilt:
[mm] _CM(\phi)_B=(_{E_3}T_C)^{-1}*_{E_3}M(\phi)_{E_2}*_{E_2}T_B.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 So 11.07.2010 | | Autor: | flare |
So.
Ich habe das nun so ausgerechnet wie steppenhahn vorgeschlagen.
also die bilder f(b1) und f(b2) als vektoren der basis C und erhalte nun
[mm] \pmat{ 2 & -1\\-1/2 & -1/4\\-1/2 &9/4 }
[/mm]
Gehen wir mal davon aus, dass das stimmt. Nun müsste ich für b) nurnoch den Vektor [mm] \vektor{8\\4} [/mm] damit multiplizieren und ich hab mein gesuchtes Ergebnis?
Wie hängt das Ganze nun mit den ganzen Matrizen, die angela aufgeklärt hat , zusammen?
Das sollte doch beides zum selben Ergebnis kommen oder.
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> So.
>
> Ich habe das nun so ausgerechnet wie steppenhahn
> vorgeschlagen.
> also die bilder f(b1) und f(b2) als vektoren der basis C
> und erhalte nun
> [mm]\pmat{ 2 & -1\\-1/2 & -1/4\\-1/2 &9/4 }[/mm]
>
> Gehen wir mal davon aus, dass das stimmt. Nun müsste ich
> für b) nurnoch den Vektor [mm]\vektor{8\\4}[/mm] damit
> multiplizieren und ich hab mein gesuchtes Ergebnis?
Hallo,
ich hab' Dein Ergebnis nicht geprüft bisher.
Wenn das da oben die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl der Basen B und C ist, müßtest Du vor der Multiplikation den [mm] Vektor\vektor{8\\4} [/mm] erstmal in einen Koordinatenvektor bzgl B umwandeln, denn solche Vektoren frißt und verdaut die Matrix.
>
> Wie hängt das Ganze nun mit den ganzen Matrizen, die
> angela aufgeklärt hat , zusammen?
> Das sollte doch beides zum selben Ergebnis kommen oder.
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 So 11.07.2010 | | Autor: | flare |
Sei
$ [mm] _{E_3}M(\phi)_{E_2} [/mm] $ die Darstellungsmatrix von $ [mm] \phi [/mm] $ bzgl der Standardbasen $ [mm] E_2 [/mm] $ und $ [mm] E_3, [/mm] $
$ [mm] _CM(\phi)_B [/mm] $ die Darstellungsmatrix von $ [mm] \phi [/mm] $ bzgl der Basen B und C,
$ [mm] _{E_2}T_B [/mm] $ die Basistransformationsmatrix, welche Vektoren, die bzgl B gegeben sind, in solche bzgl $ [mm] E_2 [/mm] $ umwandelt, und
$ [mm] _{E_3}T_C [/mm] $ die Basistransformationsmatrix, welche Vektoren, die bzgl C gegeben sind, in solche bzgl $ [mm] E_3 [/mm] $ umwandelt,
dann gilt:
[mm] _CM(\phi)_B=(_{E_3}T_C)^{-1}\cdot{}_{E_3}M(\phi)_{E_2}\cdot{}_{E_2}T_B. [/mm] $
So, wenn ich die Bezeichnungen richtig verstanden habe, ist [mm] _{E_3}M(\phi)_{E_2} [/mm] $= [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ -1 & -2\\1 &-1 } [/mm]
[mm] _{E_2}T_B [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -2}
[/mm]
[mm] _{E_3}T_C =\pmat{ 1 & -2&-2\\2 & -2&-2\\-1&1&1}
[/mm]
Denn wenn ich die drei miteinander multipliziere, kommt tatsächlich mein Ergebnis raus ( [mm] a_{11}=-2)
[/mm]
"Komisch" ist auch, dass [mm] _{E_3}M(\phi)_{E_2}*_{E_2}T_B [/mm] gerade mein [mm] \phi [/mm] bezüglich der Basis B gibt.
Das auch kein Zufall oder?
Und wenn ich das Inverse von [mm] _{E_3}T_C [/mm] * dem Ergebnis rechne, erhalte ich gerade die komplette Darstellungsmatrix.
Schon richtig so, oder?
Darüber muss ich erstmal grübeln, warum das so ist.
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> Sei
> [mm]_{E_3}M(\phi)_{E_2}[/mm] die Darstellungsmatrix von [mm]\phi[/mm] bzgl
> der Standardbasen [mm]E_2[/mm] und [mm]E_3,[/mm]
> [mm]_CM(\phi)_B[/mm] die Darstellungsmatrix von [mm]\phi[/mm] bzgl der Basen
> B und C,
> [mm]_{E_2}T_B[/mm] die Basistransformationsmatrix, welche Vektoren,
> die bzgl B gegeben sind, in solche bzgl [mm]E_2[/mm] umwandelt, und
> [mm]_{E_3}T_C[/mm] die Basistransformationsmatrix, welche Vektoren,
> die bzgl C gegeben sind, in solche bzgl [mm]E_3[/mm] umwandelt,
> dann gilt:
>
> [mm]_CM(\phi)_B=(_{E_3}T_C)^{-1}\cdot{}_{E_3}M(\phi)_{E_2}\cdot{}_{E_2}T_B.[/mm]
> $
>
>
> So, wenn ich die Bezeichnungen richtig verstanden habe, ist
> [mm]_{E_3}M(\phi)_{E_2}[/mm] $= [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ -1 & -2\\1 &-1 }[/mm]
> [mm]_{E_2}T_B[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -2}[/mm]
> [mm]_{E_3}T_C =\pmat{ 1 & -2&-2\\2 & -2&2\\-1&1&1}[/mm]
Hallo,
ja, so ist es.
>
> Denn wenn ich die drei miteinander multipliziere, kommt
> tatsächlich mein Ergebnis raus ( [mm]a_{11}=-2)[/mm]
Das klingt gut - nachgerechnet habe ich nicht.
Die eine Matrix muß invertiert werden, ich hoffe, das ist klar.
>
> "Komisch" ist auch, dass [mm]_{E_3}M(\phi)_{E_2}*_{E_2}T_B[/mm]
> gerade mein [mm]\phi[/mm] bezüglich der Basis B gibt.
> Das auch kein Zufall oder?
Nein.
Es ist [mm] _{E_3}M(\phi)_{E_2} [/mm] die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasen.
[mm] _{E_2}T_B [/mm] wandelt Koordinatenvektoren bzgl B in solche bzgl [mm] E_2 [/mm] um.
[mm] _{E_3}M(\phi)_{E_2}*_{E_2}T_B [/mm] tut dies: ein Vektor in Koordinaten bzgl B wird zunächst in einen solchen in Koordinaten bzgl [mm] E_2 [/mm] umgewandelt und dann dessen Bild unter [mm] \phi [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] E_3 [/mm] bestimmt.
Insgesamt ist in meiner Schreibweise [mm] _{E_3}M(\phi)_{E_2}*_{E_2}T_B=_{E_3}M(\phi)_B, [/mm] also die Darstellungsmatrix v. [mm] \phi [/mm] bzgl der Basen B und [mm] E_3.
[/mm]
> Und wenn ich das Inverse von [mm]_{E_3}T_C[/mm] * dem Ergebnis
> rechne, erhalte ich gerade die komplette
> Darstellungsmatrix.
Nicht ganz. Duch [mm] (_{E_3}T_C)^{-1}=_CT_{E_3} [/mm] wird der Ergebnisvektor, der in Koordinaten bzgl [mm] E_3 [/mm] ist, in einen solchen in Koordinaten bzgl C verwandelt.
>
> Schon richtig so, oder?
> Darüber muss ich erstmal grübeln, warum das so ist.
Genau. Tu das. Wenn Du es dann verstanden hast, fällt das Merken leicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Mo 12.07.2010 | | Autor: | flare |
Vielen Dank
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