Lineare Abbildung / Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist folgende lineare Abbildung : [mm] R^4 [/mm] --> [mm] R^3
[/mm]
f ( 1 / 1 / 0 / 0 ) = ( 2 / -1 / 1 ) , f ( 1 / 0 / -1 / 0 ) = ( 1 / 0 / 3 ),
f ( 0 / 0 / 1 / 1 ) = ( 1 / -1 / 1 ), f ( 2 / 0 / 0 / 1 ) = ( 5 / 4 / 3 )
Nun soll eine Basis von Kern f und Bild f bestimmt werden. Die Lösung verstehe ich jedoch nicht so ganz. Ich poste sie mal, und es wäre schön wenn sie mir jemand erklären könnte.
DANKE!!! |
Da die 4 Vektoren durch die f definiert ist linear unabhängig sind und somit eine Basis bilden, kann der Kern durch folgenden Ansatz bestimmt werden :
( 0 / 0 / 0 ) = f ( a ( 1 / 1 / 0 / 0 ) + b ( 1 / 0 / -1 / 0 ) + c ( 0 / 0 / 1 / 1 ) + d ( 2 / 0 / 0 1 )
= a ( 2 / -1 / 1 ) + b ( 1 / 0 / 3 ) + c ( 1 / -1 / 1 ) + d ( 5 / 4 / 3 )
0 = 2a + b + c + 5d
0 = -a - c + 4d
0 = a + 3b + c + 3d
Bis hierher ist mir alles klar. Ich hätte nun die obigen drei Gleichungen ganz normal aufgelöst. Doch damit komme ich irgendwie nicht hin ! :(
Als Ergebnis kommt folgendes raus:
d = - [mm] \bruch{3}{7} [/mm] b
c = -5b - d = - [mm] \bruch{32}{7} [/mm] b
a = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( - b - c - 5d ) = [mm] \bruch{20}{7} [/mm] b
Wieso kann ich alle Unbekannten denn hier durch b ausdrücken und woher weiß ich dass ich das tun kann?????
Und: was wäre, wenn die 4 Vektoren am Anfang nicht linear unabhängig wären, wie würde ich dann den Ansatz machen um den Kern zu bestimmen?
Und: wie gehe ich nun vor um ein Bild von f zu bestimmen?
Fragen über Fragen..... Würde mich sehr freuen wenn jemand Licht ins Dunkel bringen könnte!
Danke und liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 12.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Bis hierher ist mir alles klar. Ich hätte nun die obigen
> drei Gleichungen ganz normal aufgelöst. Doch damit komme
> ich irgendwie nicht hin ! :(
vielleicht solltest du auch dies mal posten - vielleicht istes nur ein kleiner Fehler, den man schnell beheben kann, so dass du eigentlich das Gleiche machst, wie in der Lösung ?!?
> Als Ergebnis kommt folgendes raus:
>
>
> d = - [mm]\bruch{3}{7}[/mm] b
> c = -5b - d = - [mm]\bruch{32}{7}[/mm] b
> a = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( - b - c - 5d ) = [mm]\bruch{20}{7}[/mm] b
>
>
> Wieso kann ich alle Unbekannten denn hier durch b
> ausdrücken und woher weiß ich dass ich das tun kann?????
Ich denke mal, es wurde mit Gauß gemacht und eine gleichung hatte halt nur noch zwei Koeffizieneten : bei b und bei d - man hätte es dann wohl auch mit d ausdrücken können ...
(Schließlich muss man nur eine Variable frei wählen)
> Und: was wäre, wenn die 4 Vektoren am Anfang nicht linear
> unabhängig wären, wie würde ich dann den Ansatz machen um
> den Kern zu bestimmen?
Dann wäre die Abbildung noch nicht mal eindeutig bestimmt, denn du brauchst die Bilder von einer Basis, damit du die Linearität ausnutzen kannst - das würde also gar nicht gehen dann eindeutig etwas über die Abbildung auszusagen !
> Und: wie gehe ich nun vor um ein Bild von f zu bestimmen?
Die Bilder der Basis bilden ein Erzeugendensystem des Bildes !
Du musst jetzt daraus eine Basis machen.
(schreibe die Bildvektoren als ZEILEN in eine Matrix und bringe sie auf Zeilenstufenform nur mit Zeilenoperationen, dann sind alle nicht-null-Zeilen linear unabhängige Vektoren des Bildes und somit eine Basis)
frag ruhig nach, wenn was unklar ist
viele Grüße
DaMenge
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Hallo nochmal!
Also : Wenn die 4 Vektoren zu beginn linear abhängig wären, dann müsste ich doch erstmal eine Basis bestimmen ( sprich so lange rechnen bis ich Vektoren hätte die linear unabhängig wären, oder? .
Wenn ich das gemacht hätte, müsste ich meine Vektoren wieder gleich null setzen und den Kern bestimmen.,
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 12.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
1.Du hast DaMenge nicht genau gelesen: Wenn die 4 Vektoren aus [mm] \IR^{4}, [/mm] die abgebildet werden nicht linear unabhängig sind , dann kennst du die lineare Abbildung gar nicht, kannst also auch nix mit ihr machen. Es sei denn du hast 5 Vektoren und deren Bilder, dann musst du erst 4 unabhängige suchen.
2. Wenn du ein Gl-system mit 4 unbekannten und nur 3 Gl hast, so muss mindestens einer der Variablen frei wählbar sein, dann hat der Kern die Dimension 1, das Bild dann die dimension 3 wenn 2 frei wählbar sind, hat der Kern die dimension 2 ,das Bild dann auch!
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> Also : Wenn die 4 Vektoren zu beginn linear abhängig wären,
> dann müsste ich doch erstmal eine Basis bestimmen ( sprich
> so lange rechnen bis ich Vektoren hätte die linear
> unabhängig wären, oder? .
Ich hoff dir ist klar geworden, dass das nicht geht!
> Wenn ich das gemacht hätte, müsste ich meine Vektoren
> wieder gleich null setzen und den Kern bestimmen.,
Man kann nicht "Vektoren gleich 0 setzen"
Gruss leduart
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Dann habe ich da irgendetwas nicht so ganz verstanden......
Kurze Rückfrage nochmal: Was sind denn die Bilder meiner Vektoren genau?
In der Vorlsung wurde uns da nichts zu gesgat, aber für die Klausur müssen wir es können :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 12.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Spinne
Wenn L ne lineare Abb. von V nach W ist, dann sind Bilder von Vektoren [mm] v\inV [/mm] Vektoren [mm] w\in [/mm] W. Einige der Vektoren in V können auf 0 abgebildet werden. diese Vektorn in V heissen Kern, die BildVektoren in W sind das Bild.
Beispiel: Abbildung von [mm] \IR^{3} [/mm] nach [mm] \IR^{2}, [/mm] stell dir die Projektion des [mm] \IR^{3} [/mm] auf die x-y-Ebene vor. Bilder sind alle Vektoren in der x-y-Ebene, Kern sind alle Vektoren , die nur eine z Komponente haben, also Vielfache von (0,0,1).Das wäre auch eine Basis des Kerns. Basis des Bilds wäre z. Bsp (1,0) und (0,1) aber auch 2 bel. andere nicht proportionale Vektore in der x-y-Ebene)
Gruss leduart
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