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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Lineare Abbildung MAtrix
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Lineare Abbildung MAtrix: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Mi 18.05.2005
Autor: NECO

Hallo, ich hatte so eine Aufgabe. ICh habe es gelöst. Ich habe nur eine Frage.

Aufgabe: Sei a [mm] \in \IR^{3} [/mm] fest.  Zeigen Sie dass die Abbildung linear ist, und finden Sie Ihre Matrix und bestimmen Sie den Rang dieser Matrix in Abhängigkeit von a.
f: b [mm] \to(a \times [/mm] b)
So ich habe gezeigt dass die Abbildung linear ist.  Nur wie finde ich Ihre Matrix und den Rang diser MAtrix?
Ich habe da auch mal was überlegt. Ich bilde Die  3 Einheitsvektoren ab. a lasse ich stehen. Und Jeweils was raus kommt schreibe ich als Spalte in einer MAtrix. Ich habe es gerechnet. Stimmt das so?
Ich habe nach meine Methode das raus bekommen.

[mm] \pmat{ 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\- a_{2} & a_{1} & 0} [/mm]

        
Bezug
Lineare Abbildung MAtrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Mi 18.05.2005
Autor: Julius

Hallo Neco!

> habe es gerechnet. Stimmt das so?
> Ich habe nach meine Methode das raus bekommen.
>  
> [mm]\pmat{ 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\- a_{2} & a_{1} & 0}[/mm]

Perfekt! [daumenhoch]

Jetzt zum Rang:

Der Rang ist nur gleich $2$, da die drei Spaltenvektoren linear abhängig sind.

Es gilt nämlich:

[mm] $a_1 \cdot \pmat{ 0 \\ a_3 \\ -a_2} [/mm] + [mm] a_2 \cdot \pmat{ -a_3 \\ 0 \\ a_1} [/mm] + [mm] a_3 \cdot \pmat{ a_2 \\ -a_1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}$. [/mm]

Viele Grüße
Julius  


Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung MAtrix: Linearabhängig??? !!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mi 18.05.2005
Autor: NECO

Ich bekkomme linear unabhängig raus. Kannst du bitte noch mal gucken.



Bezug
                        
Bezug
Lineare Abbildung MAtrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Mi 18.05.2005
Autor: Julius

Hallo Neco!

Ich habe noch einmal geschaut und bleibe bei meiner Meinung. ;-)

Schließlich habe ich die drei Vektoren nicht-trivial zum Nullvektor linear kombiniert (und der Fall [mm] $a_1=a_2=a_3=0$ [/mm] ist sowieso klar; dann ist der Rang leich $0$).

Viele Grüße
Julius

Bezug
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