Lineare Abbildung U-Vektorraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Do 11.06.2015 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe | | Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und A,B [mm] \subset [/mm] V Untervektorräume. Geben Sie eine hinreichend und notwendige Bedingung für die Existenz einer linearen Abbildung T: V→V an, so dass ker(T) = A und Im(T) = B. |
Hallo,
bei der Frage komme ich nicht weiter. Einmal generell gefragt: Was ist in dem Kontext mit hinreichend und notwendig gemeint?
Ich hatte zuerst einen Ansatz, den ich im Nachhinein aber als falsch angesehen habe. Ich dachte mir, wenn A ein trivialer Unterraum ist (also nur [mm] \vec{0} [/mm] enthält), dann ist der Kern definitiv A, da [mm] T(\vec{0}) [/mm] = [mm] \vec{0}. [/mm]
Das habe ich dann aber als falsch erkannt, da die Abbildung ja von V nach V geht und A/B garnicht vorkommen. Damit wäre mein Ansatz falsch und ich stehe ganz ratlos da. Für Im(T) = B habe ich keinen Ansatz.
Es gilt ja: V = ker(T) + Im(T). Wenn man dann davon ausgeht dass ker(T) = A und Im(T) = B folgt dass V = A+B. Kann man mit diesem Gedanken was anfangen?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße,
Ceriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Do 11.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und A,B
> [mm]\subset[/mm] V Untervektorräume. Geben Sie eine hinreichend und
> notwendige Bedingung für die Existenz einer linearen
> Abbildung T: V→V an, so dass ker(T) = A und Im(T) = B.
>
> Hallo,
>
> bei der Frage komme ich nicht weiter. Einmal generell
> gefragt: Was ist in dem Kontext mit hinreichend und
> notwendig gemeint?
Nennen wir die Bedingung mal blablablubber(A,B)
Es soll also gelten:
blablablubber(A,B)
[mm] \gdw [/mm]
es ex. eine lineare Abbildung T: V→V , so dass ker(T) = A und Im(T) = B
>
> Ich hatte zuerst einen Ansatz, den ich im Nachhinein aber
> als falsch angesehen habe. Ich dachte mir, wenn A ein
> trivialer Unterraum ist (also nur [mm]\vec{0}[/mm] enthält), dann
> ist der Kern definitiv A, da [mm]T(\vec{0})[/mm] = [mm]\vec{0}.[/mm]
>
> Das habe ich dann aber als falsch erkannt, da die Abbildung
> ja von V nach V geht und A/B garnicht vorkommen. Damit
> wäre mein Ansatz falsch und ich stehe ganz ratlos da. Für
> Im(T) = B habe ich keinen Ansatz.
>
> Es gilt ja: V = ker(T) + Im(T). Wenn man dann davon ausgeht
> dass ker(T) = A und Im(T) = B folgt dass V = A+B. Kann man
> mit diesem Gedanken was anfangen?
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
Denk mal an die Formel
dimV=dimker(T)+dimIm(T)
FRED
>
> Liebe Grüße,
>
> Ceriana
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:24 Do 11.06.2015 | | Autor: | Ceriana |
Hallo Fred,
tut mir Leid, aber damit kann ich nichts anfangen. Was sagt mir der Dimensionssatz im Bezug auf die Aufgabe? Wir kennen keine der Dimensionen oder Basen.
Kann man mit V = ker(T) + Im(T) [mm] \Leftrightarrow [/mm] V = A + B irgendwas anfangen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 13.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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