Lineare Abbildung auf den Kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 So 08.07.2012 | | Autor: | Lukas147 |
| Aufgabe | | Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum. Zeige, dass genau dann eine lineare Abbildung f: [mm] V\to [/mm] V mit f(V) = f^-1(0) existiert, wenn dim(V) gerade ist. |
Hallo ,
ich habe mit der Aufgabe leider so meine Schwierigkeiten und habe mir gedacht ich probiere das ganze aus , indem ich es mit [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] probiere...aber ich habe festgestellt das ich selbst dies noch nicht hinbekomme. Ich weiß was für den Kern und lineare Abbildungen gilt, komme aber auch dadurch nicht weiter...
Ich wäre sehr froh wenn mir jemand das ganze vielleicht für [mm] \IR^2 [/mm] zeigt. Ich hoffe mir wird dann das ganze etwas klarer... :)
lg Lukas
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> Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum. Zeige, dass
> genau dann eine lineare Abbildung f: [mm]V\to[/mm] V mit f(V) =
> [mm] f^{-1}(0) [/mm] existiert, wenn dim(V) gerade ist.
> Hallo ,
> ich habe mit der Aufgabe leider so meine Schwierigkeiten
> und habe mir gedacht ich probiere das ganze aus , indem ich
> es mit [mm]\IR^2[/mm] und [mm]\IR^3[/mm] probiere...
Hallo,
ja, so mache ich es auch, wenn mir solche Aufgaben nicht klar sind.
Ich denke, Du weißt, daß lineare Abbildungen eindeutig durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis bestimmt sind.
Nehmen wir die lineare Abbildung
[mm] f:\IR^2\to\IR^2 [/mm]
mit
[mm] f(\vektor{1\\2}):=\vektor{0\\0}
[/mm]
[mm] f(\vektor{1\\3}):=\vektor{1\\2}.
[/mm]
Diese Abbildung tut, was sie soll.
Ist Dir klar, daß f(V) das Bild von f ist und [mm] f^{-1}(\{0\}) [/mm] der Kern von f? Kennst Du den Satz, der Dir was über die Dimensionen von V, bild und Kern erzählt?
Ich hoffe, daß Du mit diesen Hinweisen ein Stück weiter kommst.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 08.07.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Hallo ,
Die Abbildung ist mir klar, auch dass f(V) das Bild und f^-1(0) der Kern ist.
Der Dimesionssatz ist ja :
dim(V) = dim(f(V)) + dim(f^-1(0))
Damit jetzt dim(V) gerade ist müssen die dimensionen von Bild und Kern entweder beide ungerade oder beide gerade sein.
Vielen dank bis jetzt für die Tipps bis jetzt.
Es gilt jetzt also eigentlich nur noch zu zeigen dass die dimension vom Bild gleich der dimension vom Kern ist.
Hier bräuchte ich allerdings noch einen kleinen denkanstoss...
lg Lukas
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Hallo,
es ist mir nicht ganz klar, ob Dir klar ist, daß zwei Richtungen zu zeigen sind, nämlich
1. es gibt solch eine Abbildung f ==> dimV ist gerade,
2. dimV ist gerade ==> es gibt solch eine Abbildung.
Beide Richtungen sind getrennt zu beweisen.
Zu 1 sollte mein Beispiel eine Hilfe sein und eine Idee liefern, wie du zu einem geraddimensionalen VR solch eine Abbildung basteln kannst.
Nun zu 2:
> Die Abbildung ist mir klar, auch dass f(V) das Bild und
> f^-1(0) der Kern ist.
> Der Dimesionssatz ist ja :
> dim(V) = dim(f(V)) + dim(f^-1(0))
Genau.
Bedenke, daß bei dieser Richutng doch vorausgesetzt (!) ist, daß es solch eine Abbildung f gibt, bei der Bild und Kern übereinstimmen...
LG Angela
> Damit jetzt dim(V) gerade ist müssen die dimensionen von
> Bild und Kern entweder beide ungerade oder beide gerade
> sein.
> Vielen dank bis jetzt für die Tipps bis jetzt.
> Es gilt jetzt also eigentlich nur noch zu zeigen dass die
> dimension vom Bild gleich der dimension vom Kern ist.
> Hier bräuchte ich allerdings noch einen kleinen
> denkanstoss...
>
> lg Lukas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 08.07.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Ok , dann versuche ich mich mal daran:
zu 1:
Es gilt : Ich habe eine Abbildung [mm] f_n [/mm] mit einer Basis der länge n : [mm] \left\{ v_1,v_2,...v_n \right\} [/mm] . Diese Abbildung ist durch die Werte [mm] f_n(v_1)...f_n(v_n) [/mm] eindeutig bestimmt. Nun kann diese Abbildung dadurch definiert werden, dass die eine hälfte auf die 0 abgebildet wird und die andere hälfte auf diejenigen Basisvektoren,welche auf die Null abbilden.
Das ganze wird mal an einem Beispiel verdeutlicht:
Sei der Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] mit Basis [mm] b=(v_1,v_2) [/mm] und einer Abbildung f gegeben. Dann definiert man [mm] f(v_1)=0 [/mm] und [mm] f(v_2)=v_1 [/mm] . Hier gilt dass die dimension gerade ist.
Sei nun der Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] mit Basis [mm] b=(w_1,w_2,w_3) [/mm] und einer Abbildung g gegeben.Hier kann man zwar [mm] g(w_1)=0 [/mm] und [mm] g(w_2)=w_1 [/mm] definieren aber für [mm] g(w_3)=0 [/mm] oder [mm] w_1 [/mm] wäre die Abbildung nicht wohldefiniert , da alle basisvektoren unterschiedlich sind.
Man sieht also , dass die Dimension des Vektorraumes gerade sein muss, sodass es so eine Abbildung f gibt.
zu 2:
Hier ist die Dimension gerade , das heißt wenn man genau so eine Abbildung wie in 1 definiert müsste das ja schon der beweis sein.
Ich hoffe ich habe hier alles richtig verstanden und aufgeschrieben und dass alles passt.
lg Lukas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Mo 09.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok , dann versuche ich mich mal daran:
>
> zu 1:
> Es gilt : Ich habe eine Abbildung [mm]f_n[/mm] mit einer Basis der
> länge n : [mm]\left\{ v_1,v_2,...v_n \right\}[/mm] . Diese
> Abbildung ist durch die Werte [mm]f_n(v_1)...f_n(v_n)[/mm] eindeutig
> bestimmt. Nun kann diese Abbildung dadurch definiert
> werden, dass die eine hälfte auf die 0 abgebildet wird und
> die andere hälfte auf diejenigen Basisvektoren,welche auf
> die Null abbilden.
> Das ganze wird mal an einem Beispiel verdeutlicht:
> Sei der Vektorraum [mm]\IR^2[/mm] mit Basis [mm]b=(v_1,v_2)[/mm] und einer
> Abbildung f gegeben. Dann definiert man [mm]f(v_1)=0[/mm] und
> [mm]f(v_2)=v_1[/mm] . Hier gilt dass die dimension gerade ist.
> Sei nun der Vektorraum [mm]\IR^3[/mm] mit Basis [mm]b=(w_1,w_2,w_3)[/mm] und
> einer Abbildung g gegeben.Hier kann man zwar [mm]g(w_1)=0[/mm] und
> [mm]g(w_2)=w_1[/mm] definieren aber für [mm]g(w_3)=0[/mm] oder [mm]w_1[/mm] wäre die
> Abbildung nicht wohldefiniert , da alle basisvektoren
> unterschiedlich sind.
> Man sieht also , dass die Dimension des Vektorraumes
> gerade sein muss, sodass es so eine Abbildung f gibt.
> zu 2:
> Hier ist die Dimension gerade , das heißt wenn man genau
> so eine Abbildung wie in 1 definiert müsste das ja schon
> der beweis sein.
>
> Ich hoffe ich habe hier alles richtig verstanden
nein.
> und
> aufgeschrieben und dass alles passt.
Nein. Es geht drunter und drüber ! Beide male hast Du vorausgesetzt, dass dim(V) gerade ist.
1. Wir setzen voraus, dass es eine Abb. f gibt mit f(V)=kern(f).
Dann ist dim(V)=dim(f(V))+dim(kern(f))
Folgere nun daraus, dass dim(V) gerade ist.
2. Sei dim(V) gerade, etwa dim(V)=2n.
Sei [mm] b_1,...,b_n,b_{n+1}, [/mm] ..., [mm] b_{2n} [/mm] eine Basis von f.
Wie mußt Du [mm] f(b_j) [/mm] für j [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] definieren und wie mußt Du [mm] f(b_i) [/mm] für i [mm] \in \{n+1,...,2n\} [/mm] definieren, damit f das Verlangte leistet ?
FRED
>
> lg Lukas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Hallo ,
Zu 1. Sei eine Abbildung f: V [mm] \to [/mm] V mit f(V) = Kern(f) gegeben.
Auch ist f(V) und Kern(f) ein Vektorraum .
Da f(V) und Kern(f) die gleichen Vektorräume sind, werden sie von der gleichen Basis erzeugt und somit gilt dim(f(V)) = dim(kern(f)) .
Die Summe zweier gleicher Zahlen n [mm] \in \IN [/mm] ist gerade und damit ist dim(f(V)) gerade.
Zu 2.
Sei dim(V) gerade, etwa dim(V)=2n.
Sei $ [mm] b_1,...,b_n,b_{n+1}, [/mm] $ ..., $ [mm] b_{2n} [/mm] $ eine Basis von f
Wie schon gesagt ist ein Abbildung durch die Werte [mm] f(b_1),f(b_2)...f(b_2n) [/mm] eindeutig bestimmt.
Nun wird $ [mm] f(b_j) [/mm] $ für j $ [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] $ so definiert, dass sie auf die 0 abbilden. Dazu wird $ [mm] f(b_i) [/mm] $ für i $ [mm] \in \{n+1,...,2n\} [/mm] $ so definiert, dass diese auf [mm] b_j [/mm] Abbilden. Dies geht, da die länge von 1 bis n und n+1 bis 2n gleich ist. Damit gilt, dass f(V)=Kern(f).
Ich hoffe ich habe es diesmal richtig gemacht
lg Lukas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mo 09.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ,
>
> Zu 1. Sei eine Abbildung f: V [mm]\to[/mm] V mit f(V) = Kern(f)
> gegeben.
> Auch ist f(V) und Kern(f) ein Vektorraum .
Wenn schon, dann: auch sind f(V) und Kern(f) Vektorräume
> Da f(V) und Kern(f) die gleichen Vektorräume sind,
> werden
> sie von der gleichen Basis erzeugt
das brauchst Du doch gar nicht.
und somit gilt dim(f(V))
> = dim(kern(f)) .
> Die Summe zweier gleicher Zahlen n [mm]\in \IN[/mm] ist gerade und
> damit ist dim(f(V)) gerade.
Du sollst doch zeigen, dass dim(V) gerade ist !
dim(V)=dim(f(V))+dim(kern(f))=2*dim(f(V))
>
> Zu 2.
> Sei dim(V) gerade, etwa dim(V)=2n.
>
> Sei [mm]b_1,...,b_n,b_{n+1},[/mm] ..., [mm]b_{2n}[/mm] eine Basis von f
Nein, keine Basis von f, sondern von V !!
> Wie schon gesagt ist ein Abbildung durch die Werte
> [mm]f(b_1),f(b_2)...f(b_2n)[/mm] eindeutig bestimmt.
> Nun wird [mm]f(b_j)[/mm] für j [mm]\in \{1,...,n\}[/mm] so definiert, dass
> sie auf die 0 abbilden.
O.K.
> Dazu wird [mm]f(b_i)[/mm] für i [mm]\in \{n+1,...,2n\}[/mm]
> so definiert, dass diese auf [mm]b_j[/mm] Abbilden.
Das ist zu "wischiwaschi" !
Etwa so: [mm] f(b_{n+k}):=b_k [/mm] für k=1,2,...,n.
> Dies geht, da
> die länge von 1 bis n und n+1 bis 2n gleich ist. Damit
> gilt, dass f(V)=Kern(f).
FRED
>
> Ich hoffe ich habe es diesmal richtig gemacht
>
> lg Lukas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Alles klar !
Vielen Dank.
Werde das ganze nicht ganz so "schwammig" aufschreiben, habe es aber begriffen.
lg Lukas
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