Lineare Abbildung bzgl. Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Do 08.06.2006 | | Autor: | Pubaer |
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^3 \mapsto\IR [/mm] sei in Standardbasis durch
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{a+b}{2} & \bruch{b-1}{2} & \bruch{a-b}{2} \\
0 & 1 & 0 \\
\bruch{a-b}{2} & \bruch{1-b}{2} & \bruch{a+b}{2}
\end{pmatrix} [/mm]
gegeben, mit a, b [mm] \in \IR. [/mm] Stellen sie die lineare Abbildunng bzgl. der Basis (1,0,1), (1,0,-1), (-1,2,1) dar. |
Hallo erstmal,
auf den ersten Blick fand die ich die Aufg. relativ einfach, aber ich bin mir nicht ganz sicher wie ich sie lösen kann. Das die Basen die gleiche Abbildung beschreiben sieht man ja, wenn man für a=2 und b=0 einsetzt und die mittlere Spalte noch mit 2 multipliziert, aber wie soll ich jetzt diese lineare Abbildung darstellen.
Ich bedanke mich schonmal für die Hilfe!
MfG
Pubär
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Deine Matrix sei M
Dann gibts ne Transformationsmatrix T, die von der neuen Basis in die Standardbasis transformiert. Dann ist deine Matrix in der neuen Basis einfach [mm] $T^{-1}MT$
[/mm]
Erklärung: Der Vektor x aus der neuen Basis wird erstmal in einen Vektor der Standardbasis transformiert: Tx
Darauf kannst du dann die Abbildung loslassen, denn deren Matrix gilt ja nur in der Standardbasis. Das ergibt also MTx. Das Ergebnis ist der abgebildete Vektor in der Standardbasis, der dann wieder zurück in die neue Basis transformiert werden muß mit dem Inversen von T, macht also alles in allem [mm] $T^{-1}MTx$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Fr 09.06.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
und die  Transformationsmatrix T bestimmst du einfach, indem du die neuen Basisvektoren als Spalten in die Matrix T schreibst.
Eine ähnliche Erklärung und auch Beispile findest du unter obigen Link.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Pubaer |
Danke erstmal!
Also sieht die gesuchte Abbildung, die als Lösung herauskommt wenn man [mm] T^{-1}MT [/mm] rechnet, folgendermaßen aus:
$ [mm] \begin{pmatrix}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $
Bitte um Korrektur falls dies falsch sein sollte!
MfG
Pubär
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 12.06.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ja, Derive hat mir dasselbe ergebnis ausgespuckt...
Solche Sachen kannst du aber auch immer selber mit dem CAS deiner Wahl überprüfen - oder wenn du keins zur Verfügung hast, kannst du dies auch online machen : ![[]](/images/popup.gif) www.quickmath.com
(da kann man nur zwei Matrizen multiplizieren, also eher was für die Zwischenschritte..)
viele Grüße
DaMenge
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