Lineare Abbildung derAbleitung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Mi 09.04.2008 | | Autor: | dbzworld |
| Aufgabe | V sei der Teilraum des Raumes aller Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] der von
[mm] e^x [/mm] , [mm] xe^x [/mm] , [mm] x^2e^x [/mm] , [mm] x^3e^x
[/mm]
erzeugt wird. Desweiteren sei [mm] \gamma: [/mm] V [mm] \to [/mm] V über
[mm] \gamma(f) [/mm] := f′′ definiert, wobei f′′ die zweite Ableitung von f sei.
a) Zeigen Sie, dass [mm] (e^x [/mm] , [mm] xe^x [/mm] , [mm] x^2e^x [/mm] , [mm] x^3e^x) [/mm] eine Basis von V ist.
b) Zeigen Sie, dass wirklich [mm] \gamma(V )\subseteq [/mm] V gilt und
dass [mm] \gamma [/mm] linear ist.
c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von bezüglich der Basis [mm] (e^x [/mm] , [mm] xe^x [/mm] , [mm] x^2e^x [/mm] , [mm] x^3e^x).
[/mm]
d) Bestimmen Sie die zweite Ableitung der Funktion
g(x) := [mm] (x^3 [/mm] − [mm] x^2 [/mm] + x − [mm] 1)e^x [/mm] ,
ohne eine der üblichen Ableitungsregeln zu verwenden. |
Hallo erstmal, hätte heute nochmal ne Frage:
zu a) was unter Basis zu verstehen ist weiß ich aber wie soll ich hier die lineare unabhängigkeit zeigen?
zu b) soll man hier vorher zeigen dass [mm] \gamma(V) [/mm] ein echter Teilraum von V ist?
zu c) braucht man zur berechnung des Darstellungsmatrix nicht zwei geordnete Basen? wie mache ich die Berechnung mit nur einer Basis?
vielen dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 09.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) wie immer : es gibt keine Linearkomb. die=0 ist, ausser der trivialen. dabei kannst du benutzen dass ein Polynom 3. Grades höchstens 3 Nullstellen hat.
zu b) am einfachsten da du jedes [mm] \gamma(f) [/mm] duerch die Basisvektoren darstellen kannst. linear ist einfach, da differenzieren linear ist.
Gruss leduart
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> V sei der Teilraum des Raumes aller Abbildungen von [mm]\IR[/mm]
> nach [mm]\IR,[/mm] der von
> [mm]e^x[/mm] , [mm]xe^x[/mm] , [mm]x^2e^x[/mm] , [mm]x^3e^x[/mm]
> erzeugt wird. Desweiteren sei [mm]\gamma:[/mm] V [mm]\to[/mm] V über
> [mm] \gamma(f)[/mm] := f′′ definiert, wobei
> f′′ die zweite Ableitung von f sei.
> zu c) braucht man zur berechnung des Darstellungsmatrix
> nicht zwei geordnete Basen? wie mache ich die Berechnung
> mit nur einer Basis?
Hallo,
wenn nur eine Basis angegeben ist, sollst Du in Start- und Zielraum diesselbe verwenden.
Da Du von V nach V abbildest, geht das ja auch. Dir fehlt also nichts.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:27 Do 10.04.2008 | | Autor: | dbzworld |
danke erstmal, aber ich habe noch ein paar Fragen:
zu a) wie meinst du das genau, wie kann ich denn die Aussage: ein Polynom 3. Grades hat höchstens 3 Nullstellen in dieser Aufgabe für die Basis verwenden.
zu c) ich habe mir einige Beispiele angeguckt die ich auch verstanden habe, aber ich kann die Methode nich auf diese Aufgabe übertragen, kann mir einer einen Ansatz geben?
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> danke erstmal, aber ich habe noch ein paar Fragen:
> zu a) wie meinst du das genau, wie kann ich denn die
> Aussage: ein Polynom 3. Grades hat höchstens 3 Nullstellen
> in dieser Aufgabe für die Basis verwenden.
> zu c) ich habe mir einige Beispiele angeguckt die ich auch
> verstanden habe, aber ich kann die Methode nich auf diese
> Aufgabe übertragen, kann mir einer einen Ansatz geben?
Hallo,
das ist mir alles etwas vage.
Ich würde gern irgendwelche Aktivitäten sehen.
Wie leduarts Tip für a) beispielsweise anzuwenden ist, sieht man erst, wenn man begonnen hat.
Wie ist denn lineare Unabhängigkeit definiert? Was mußt Du folglich untersuchen? Fang' mal an. Es hilft Dir dann bestimmt jemand weiter. Aber ein bißchen Material mußt Du bringen.
zu c) Was hat man denn in den Beispielen zur Lösung des Problems getan? Erklär mal.
Wodurch unterscheidet sich die vorliegende Aufgabe von den anderen? Wo genau liegt Dein Problem?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 10.04.2008 | | Autor: | dbzworld |
Mein Fehler, es ist vielleicht so rüber gekommen ob würde ich auf ein
fertiges Ergebnis warten, so ist das natürlich nicht, ich habe bereits etwas
dazu aufgeschrieben, nur ich dachte es ist bestimmt falsch. Was mich bei der Aufgabe iritiert ist, dass ich keine "schönen" Vektoren
gegeben habe sondern Funktionen, womit ich das bereits erlernte in
lineare Algebera nicht genau ansetzen kann.
um a) z.z. also das [mm] (e^x [/mm] , [mm] xe^x [/mm] , [mm] x^2e^x [/mm] , [mm] x^3e^x)=B [/mm] eine Basis ist muss man ja zeigen das B linear unabhängig ist, so dass die Null nur mit der trivialen Lösung erzeugt werden kann sprich:
[mm] s1*e^x+s2*xe^x+s3* x^2e^x+s4*x^3e^x=0 [/mm] , mit s1=s2=s3=s4=0, mit Skalaren s [mm] \in \IR. [/mm] Da jetzt [mm] x^3e^x [/mm] den höchsten Grad hat, sucht man nach seinen Nullstellen?
zu b) wie leduart bereits gesagt hat ist die Ableitung bereits linear, also
f' [mm] \mapsto [/mm] f´´, mit [mm] e^x \mapsto e^x, xe^x \mapsto e^x*(x+3), [/mm]
[mm] x^2e^x \mapsto e^x(x^2+4x+2) [/mm] und [mm] x^3e^x \mapsto e^x*x(x^2+6x+6), [/mm]
so dass man die Regeln das die Addition und skalare Multiplikation abgeschlossen sind nicht mehr beweisen muss.
zu c) wir haben gegeben: eine Abb. [mm] \gamma: [/mm] V [mm] \to [/mm] V die Basisfolgen beider Vektorräume [mm] A=(e^x [/mm] , [mm] xe^x [/mm] , [mm] x^2e^x [/mm] , [mm] x^3e^x) [/mm] und [mm] B=(e^y [/mm] , [mm] ye^y [/mm] , [mm] y^2e^y [/mm] , [mm] y^3e^y) [/mm] dann werden die Bilder der Basisvektoren mit Hilfe der Einheitsvektoren berechnet und die Ergebnisse jeweils Spaltenweise in die Darstellungsmatrix eingebunden. Ich weiß jetzt aber nicht wie es hier machen soll da ich keine normalen Vektoren gegeben habe.
Vielleicht so mit dem ersten Einheitsvektor e1:(1,0,0,0)
so dass für die erste Spalte [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] mit e2=(0,1,0,0) zweite
Spalte [mm] \vektor{1\\ e \\ 0 \\ 0}, [/mm] mit e3=(0,0,1,0) [mm] \vektor{1\\ 0 \\ e \\ 0} [/mm] und e4=(0,0,0,1) [mm] \vektor{1\\ 0 \\ 0 \\ e} [/mm] somit gesamt [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1& 1\\ 0 & e & 0 & 0\\ 0 & 0 & e & 0\\ 0 & 0 & 0 & e} [/mm] als Darstellungsmatrix rauskommt?
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> Was mich bei der Aufgabe iritiert ist, dass ich keine
> "schönen" Vektoren
> gegeben habe sondern Funktionen, womit ich das bereits
> erlernte in
> lineare Algebera nicht genau ansetzen kann.
Hallo,
ja, das verstehe ich.
Du mußt Dich verabschieden davon, daß Vektoren irgendwelche Pfeile oder Zahlentupel sind.
Ein Vektor ist das Element eines Vektorraumes. Nicht mehr, nicht weniger. Und ein Vektorraum ist alles, was die entsprechenden Axiome erfüllt.
In Deiner Aufgabe betrachtest Du den [mm] \IR^{\IR} [/mm] als Vektorraum. Deine Vektoren sind nun also Funktionen.
>
> um a) z.z. also das [mm](e^x[/mm] , [mm]xe^x[/mm] , [mm]x^2e^x[/mm] , [mm]x^3e^x)=B[/mm] eine
> Basis ist muss man ja zeigen das B linear unabhängig ist,
> so dass die Null nur mit der trivialen Lösung erzeugt
> werden kann sprich:
Aus
> [mm]s1*e^x+s2*xe^x+s3* x^2e^x+s4*x^3e^x=0[/mm]
muß
> s1=s2=s3=s4=0
folgen.
> mit Skalaren s [mm]\in \IR.[/mm] Da jetzt [mm]x^3e^x[/mm] den höchsten Grad
> hat, sucht man nach seinen Nullstellen?
Nein. Paß auf:
Es seien [mm] s_i\in \IR, [/mm] i=1,2,3,4, mit
[mm] s1*e^x+s2*xe^x+s3* x^2e^x+s4*x^3e^x=0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Es ist [mm] e^x\not=0 [/mm] für alle x, also kann man durch [mm] e^x [/mm] dividieren und erhält
s1+s2*x+s3* [mm] x^2+s4*x^3=0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Das, was hier steht, ist ein Polynom vom Grad 3. Es soll für sämtliche x den Wert 0 haben.
Entweder - falls Ihr das mit den Polynomen und Nullstellen schon hattet - benutzt Du nun leduarts Argument.
Falls Ihr noch nicht über Nullstellen v. Polynomen geredet habt, tust Du folgendes:
s1+s2*x+s3* [mm] x^2+s4*x^3=0 [/mm] gilt für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Dann gilt es insbesondere für x=0, [mm] x=\pm1, [/mm] x=2.
Hieraus erhältst Du ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen, welches dann nach den [mm] s_i [/mm] aufzulösen ist.
>
> zu b) wie leduart bereits gesagt hat ist die Ableitung
> bereits linear,
also gelten die Linearitätsbedingungen.
[mm] \gamma [/mm] bildet wie folgt ab:
f [mm]\mapsto[/mm] f´´,
also
> [mm]e^x \mapsto e^x,
> xe^x \mapsto e^x*(x+3),[/mm]
> [mm]x^2e^x \mapsto e^x(x^2+4x+2)[/mm] und
> [mm]x^3e^x \mapsto e^x*x(x^2+6x+6),[/mm]
Damit ist man aber noch nicht restlos überzeugt, daß die Ergebnisse auch in V liegen.
Du mußt jedes Ergebnis deutlich als Linearkombination v. [mm](e^x[/mm] , [mm]xe^x[/mm] , [mm]x^2e^x[/mm] , [mm]x^3e^x)[/mm] darstellen.
Dann erst weißt Du, daß [mm] Bild\gamma \subseteq [/mm] V.
>
> zu c) wir haben gegeben: eine Abb. [mm]\gamma:[/mm] V [mm]\to[/mm] V die
> Basisfolgen beider Vektorräume [mm]A=(e^x[/mm] , [mm]xe^x[/mm] , [mm]x^2e^x[/mm] ,
> [mm]x^3e^x)[/mm] und [mm]B
Hier sind die Basen wirklich gleich. Es ist A=B=(e^x[/mm] , [mm]xe^x[/mm] , [mm]x^2e^x[/mm] ,
> [mm]x^3e^x)[/mm]
> dann werden
> die Bilder der Basisvektoren mit Hilfe der Einheitsvektoren
> berechnet und die Ergebnisse jeweils Spaltenweise in die
> Darstellungsmatrix eingebunden. Ich weiß jetzt aber nicht
> wie es hier machen soll da ich keine normalen Vektoren
> gegeben habe.
Du weißt bereits, daß in den Spalten der Matrix die Bilder der Basisvektoren stehen müssen.
Schauen wir uns nun exemplarisch den dritten Basisvektor bzw. sein Bild an.
Es ist
[mm] \gamma(x^2e^x)=e^x(x^2+4x+2)=2*e^x [/mm] + [mm] 4*xe^x [/mm] + [mm] 1*x^2e^x
[/mm]
Dieses Bild ist noch keine Spalte, die man in eine Matrix stecken kann.
Aber wir schreiben den Ergebnisvektor jetzt als Koordinatenvektor bzgl B:
[mm] \gamma(x^2e^x)=e^x(x^2+4x+2)=2*e^x [/mm] + [mm] 4*xe^x [/mm] + [mm] 1*x^2e^x=\vektor{2\\ 4 \\ 1\\ 0}_B.
[/mm]
Dieser Vektor gibt die dritte Spalte der gesuchten Matrix.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Fr 11.04.2008 | | Autor: | dbzworld |
ah so funktioniert das, ich danke dir für die schöne Erklärung habe es jetzt endlich verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 13.04.2008 | | Autor: | jboss |
Hallo zusammen,
ich habe eine Verständnisfrage.
> > zu b) wie leduart bereits gesagt hat ist die Ableitung
> > bereits linear,
> also gelten die Linearitätsbedingungen.
>
> [mm]\gamma[/mm] bildet wie folgt ab:
>
> f [mm]\mapsto[/mm] f´´,
> also
> > [mm]e^x \mapsto e^x,
> xe^x \mapsto e^x*(x+3),[/mm]
> > [mm]x^2e^x \mapsto e^x(x^2+4x+2)[/mm] und
> > [mm]x^3e^x \mapsto e^x*x(x^2+6x+6),[/mm]
>
> Damit ist man aber noch nicht restlos überzeugt, daß die
> Ergebnisse auch in V liegen.
> Du mußt jedes Ergebnis deutlich als Linearkombination v.
> [mm](e^x[/mm] , [mm]xe^x[/mm] , [mm]x^2e^x[/mm] , [mm]x^3e^x)[/mm] darstellen.
>
> Dann erst weißt Du, daß [mm]Bild\gamma \subseteq[/mm] V.
Wenn ich dies für die Basisvektoren bewiesen habe, so gilt das doch dann auch für alle Vektoren aus V, da sich ja alle Vektoren aus V als Linearkombination der Basisvektoren darstellen lassen.
Sehe ich das richtig, oder liegt da ein Denkfehler vor?
Gruss Jakob
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> > Damit ist man aber noch nicht restlos überzeugt, daß die
> > Ergebnisse auch in V liegen.
> > Du mußt jedes Ergebnis deutlich als Linearkombination
> v.
> > [mm](e^x[/mm] , [mm]xe^x[/mm] , [mm]x^2e^x[/mm] , [mm]x^3e^x)[/mm] darstellen.
> >
> > Dann erst weißt Du, daß [mm]Bild\gamma \subseteq[/mm] V.
>
> Wenn ich dies für die Basisvektoren bewiesen habe, so gilt
> das doch dann auch für alle Vektoren aus V, da sich ja alle
> Vektoren aus V als Linearkombination der Basisvektoren
> darstellen lassen.
> Sehe ich das richtig, oder liegt da ein Denkfehler vor?
Hallo,
Du siehst es völlig richtig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 So 13.04.2008 | | Autor: | jboss |
Supi 
Vielen Dank Angela!
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