Lineare Abbildung durch Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:29 Do 25.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
| Aufgabe | Bezgl. d. Standardbasen wird e. lin. Abbildg. durch folg. 3x3-Matrix beschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & -6 & -4\\ 1 & 4 & 2\\ -1 & -3 & -1 }
[/mm]
Was für eine Abbildung wird mit dieser Matrix beschrieben? |
Ich komme leider nicht weiter. Det ist weder 1 noch -1, so dass es auf den ersten Blick keine Drehung oder Spiegelung ist. Da man keinen Faktor rausziehen kann, so dass eine Orthogonalmatrix übrig bleibt, ist es auch keine Ähnlichkeit. Die Det = 4, also ist die Matrix orientierungserhaltend.
Ich weiß nicht, wie man in solchen Fällen vorgeht und würde mich über einen Hinweis zur Lösung freuen.
Dankeschön!!
Gu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bezgl. d. Standardbasen wird e. lin. Abbildg. durch folg.
> 3x3-Matrix beschrieben:
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> [mm]\pmat{ 1 & -6 & -4\\ 1 & 4 & 2\\ -1 & -3 & -1 }[/mm]
>
> Was für eine Abbildung wird mit dieser Matrix
> beschrieben?
> Ich komme leider nicht weiter. Det ist weder 1 noch -1, so
> dass es auf den ersten Blick keine Drehung oder Spiegelung
> ist. Da man keinen Faktor rausziehen kann, so dass eine
> Orthogonalmatrix übrig bleibt, ist es auch keine
> Ähnlichkeit. Die Det = 4, also ist die Matrix
> orientierungserhaltend.
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> Ich weiß nicht, wie man in solchen Fällen vorgeht und
> würde mich über einen Hinweis zur Lösung freuen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
hilfreich ist es oft, wenn man mal die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet.
Gruß v. Angela
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> Dankeschön!!
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> Gu
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Do 25.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
OK, die Eigenwerte sind
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
[mm] \lambda_{2,3} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \pm \bruch{1}{2}\wurzel{7} [/mm] i
Der Eigenvektor zu [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 ist [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 1,5}
[/mm]
Aber wie geht es dann weiter?
Danke, gu
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:32 Do 25.03.2010 | | Autor: | straussy |
> OK, die Eigenwerte sind
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1
>
> [mm]\lambda_{2,3}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2} \pm \bruch{1}{2}\wurzel{7}[/mm] i
>
>
> Der Eigenvektor zu [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1 ist [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 1,5}[/mm]
>
Ich bin kein Experte auf dem Gebiet, aber es sieht aus, als würde um die Gerade [mm]t\vektor{0 \\ 1\\ 1,5}[/mm] gedreht und gestreckt werden. Aber das müsste man sich nochmal genau überlegen.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 07:48 Fr 26.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
Vielen Dank für eure Antworten!! Aber irgendwie komme ich nicht weiter....
Hat vielleicht noch irgend jemand eine Idee was es für eine Abbildung sein könnte?
Danke, gu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Fr 26.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo gu
eine echte Antwort hab ich nicht, der matrix direkt kann man nichts (was ich sehe) ablesen.
was ich versuchen würde, aber keine Lust habe selbst auszuprobieren:
einen Basiswechsel machen, indem ich als neue Basis Vektoren
den Eigenvektor und 2 dazu senkrechte nähme, also etwa
[mm] (\wurzel{13},0,0)^T, (0,3,-2)^T [/mm] und [mm] (0,2,3)^T
[/mm]
ob man dann was sieht, kann ich nicht direkt vorhersehen.
Habt ihr irgendwann eine "Klassifikation" von Matrizen nach geom. Eigenschaften gemacht?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Fr 26.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
Gruss leduart ,
danke für deinen Hinweis, werde das probieren!! Haben eine Klassifizierung von Matrizen leider nie ausführlich behandelt, zumindest nicht einen solchen Fall. Wie gesagt, bei det =1 oder -1 oder wenn die Matrix ein Vielfaches einer Orthogonalmatrix ist, das hatten wir mal in Geometrie. Aber darüber hinaus ging es nie.
Ich teste deinen Lösungsvorschlag aus.
Grüße, gu
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Hallo!
Die Aufgabe hat mich nun doch ein wenig gereizt,sodaß ich ein wenig gespielt habe. Und die Sache sieht wirklich komplizierter aus.
Folgendes Bild zeigt das Vektorfeld, das durch diese Matrix beschrieben wird.
(Das heißt: an jedem Punkt (x,y,z) wird ein Pfeil gezeichnet, der das Ergebnis der Multiplikation des Punktes mit der Matrix repräsentiert.)
Zur besseren Übersicht sind die Vektoren noch normiert, haben also alle eineLänge von 1, denn sonst sieht man nix.
Man guckt hier unter einem Winkel von 3° auf den Eigenvektor, denn der EW liegt in der yz-Ebene, und ohne diese leichte Drehung geht der räumliche Eindruck völlig flöten.
Im Anhang gibts das Bild auch nochmal in hoher Auflösung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das ganze sieht also tatsächlich sehr nach Rotation aus, wie es die komplexen Eigenwerte vermuten lassen. Allerdings, wenn man sich die Achsenskalierung von x und y anschaut, ist da noch eine sehr starke Streckung in einer Richtung drin. Was natürlich wegen der Normierung gar nicht raus kommt, ist die Längenänderung der einzelnen Vektoren, also auch noch eine Vergrößerung.
Um das ganze etwas genauer zu analysieren schlage ich auch vor, in ein Koordinatensystem zu wechseln, bei dem der Eigenvektor auf eine Achse fällt, und darin dann z.B. das Verhalten von Vektoren, die den Einheitskreis bilden, zu untersuchen.
Das ganze ist jetzt natürlich alles andere als vollständig, gibt aber einen ersten Überblick.
Mir scheint aber, im Sinne dieser Hausaufgabe ist vermutlich eher so was einfaches wie "Matrix mit maximalem Rang und sonst unbestimmtem Verhalten" gefragt. Oder etwa doch mehr?
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Bild mit höherer Auflösung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mo 29.03.2010 | | Autor: | gu75yey |
Hi Event_Horizon,
vielen Dank für deine Mühe!!!!! Danke auch für die Bilder, ich haber gar kein Programm, mit dem ich so was machen könnte!!
Die Audgabe ist eine Aufgabe aus dem schriftlichen Staatsexamen. Ich denke mittlerweile auch, dass man wahrscheinlich nur schreiben sollte, dass es sich um eine bijektive A. handelt weil reguläre Matrix bzw. um einen Automorphismus. Alles andere ist ja nicht machbar in einer Klausur ohne technische Hilfsmittel.
Aber mal vom Grundsatz her hätte ich noch eine Frage: die komplexen Eigenwerte deuten also auf eine Drehung? Ist das immer so?
gu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mo 29.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi Event_Horizon,
>
> vielen Dank für deine Mühe!!!!! Danke auch für die
> Bilder, ich haber gar kein Programm, mit dem ich so was
> machen könnte!!
>
> Die Audgabe ist eine Aufgabe aus dem schriftlichen
> Staatsexamen. Ich denke mittlerweile auch, dass man
> wahrscheinlich nur schreiben sollte, dass es sich um eine
> bijektive A. handelt weil reguläre Matrix bzw. um einen
> Automorphismus. Alles andere ist ja nicht machbar in einer
> Klausur ohne technische Hilfsmittel.
>
> Aber mal vom Grundsatz her hätte ich noch eine Frage: die
> komplexen Eigenwerte deuten also auf eine Drehung? Ist das
> immer so?
Nein. Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
FRED
>
> gu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 So 28.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 So 25.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[a]](uploads/forum/00668333/forum-i00668333-n002.png "Dateianhänge"){kind=small}
Bild mit höherer Auflösung