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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 So 04.06.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | a) Sei V ein Vektorraum, [mm] \partial [/mm] : V [mm] \to [/mm] V linear und v [mm] \in [/mm] V, so dass gilt:
[mm] \partial^{n}(v)=0 [/mm] und [mm] \partial^{n-1}(v) \not=0 [/mm] für ein n [mm] \ge [/mm] 1. Dann sind v, [mm] \partial [/mm] (v),..., [mm] \partial^{n-1} [/mm] (v) linear unabhängig.
b) geben Sie eine lineare Abbildung [mm] \partial: K^{n} \to K^{n} [/mm] an, so dass
[mm] \partial^{n}=0 [/mm] und [mm] \partial^{n-1} \not=0 [/mm] ist. |
Guten Abend,
ich frage mich gerade, was die Frage eigentlich zu bedeuten haben soll? komme mit der Aufgabenstellung gar nicht klar...
wenn jemand versteht, was man hier machen soll, kann er mir das erklären und vielleicht sogar ansatzweise aufschreiben, was zu machen ist?danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo melek!
> a) Sei V ein Vektorraum, [mm]\partial[/mm] : V [mm]\to[/mm] V linear und v
> [mm]\in[/mm] V, so dass gilt:
> [mm]\partial^{n}(v)=0[/mm] und [mm]\partial^{n-1}(v) \not=0[/mm] für ein n
> [mm]\ge[/mm] 1. Dann sind v, [mm]\partial[/mm] (v),..., [mm]\partial^{n-1}[/mm] (v)
> linear unabhängig.
Hier hast du $V$, $v [mm] \in [/mm] V$, [mm] $\partial [/mm] : V [mm] \to [/mm] V$ und $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit den angegebenen Eigenschaften gegeben, also es gilt [mm] $\partial^{n-1}(v) \neq [/mm] 0$ und [mm] $\partial^n(v) [/mm] = 0$.
Ist dir klar, was [mm] $\partial^n(v)$ [/mm] bedeutet? Das ist [mm] $\partial(\partial(\cdots \partial(v) \cdots [/mm] ))$, wobei du [mm] $\partial$ [/mm] da $n$-mal stehen hast. Also gilt insbesondere [mm] $\partial(\partial^{n-1}(v)) [/mm] = [mm] \partial^n(v)$.
[/mm]
Du sollst jetzt zeigen, dass $v, [mm] \partial(v), \dots, \partial^{n-1}(v)$ [/mm] linear unabhaengig sind. Also nimmst du dir Koeffizienten [mm] $\lambda_0, \dots, \lambda_{n-1} \in [/mm] K$ mit [mm] $\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \partial^k(v) [/mm] = 0$ (mit der Konvention [mm] $\partial^0(v) [/mm] = v$). Du musst zeigen, dass [mm] $\lambda_0 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] \lambda_{n-1} [/mm] = 0$ ist.
Wende doch mal [mm] $\partial^{n-1}$ [/mm] auf die Gleichung an. Also berechne [mm] $\partial^{n-1}(v [/mm] + [mm] \partial(v) [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \partial^{n-1}(v))$. [/mm] Was kommt heraus? Und dann versuchs mit [mm] $\partial^{n-2}$, $\partial^{n-3}$, [/mm] etc. Siehst du was?
> b) geben Sie eine lineare Abbildung [mm]\partial: K^{n} \to K^{n}[/mm]
> an, so dass
> [mm]\partial^{n}=0[/mm] und [mm]\partial^{n-1} \not=0[/mm] ist.
Da musst du einfach nur eine solche Abbildung angeben. Versuchs doch mal mit der Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : [mm] K^n \to K^n$, $(x_1, \dots, x_n) \mapsto [/mm] (0, [mm] x_1, \dots, x_{n-1})$. [/mm] Du musst nur noch nachrechnen, dass diese Abbildung linear ist (das sollte recht klar sein) und die gegebene Eigenschaft erfuellt, also [mm] $\varphi^{n-1} \neq [/mm] 0$ (d.h. es gibt einen Vektor $v [mm] \in K^n$ [/mm] mit [mm] $\varphi^{n-1}(v) \neq [/mm] 0$) und [mm] $\varphi^n [/mm] = 0$ (d.h. fuer alle $v [mm] \in K^n$ [/mm] ist [mm] $\varphi^n(v) [/mm] = 0$).
LG Felix
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