Lineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 23.08.2006 | | Autor: | maggi20 |
Bestimmen Sie eine lineare Abbildung f: P4(R,R) nach P4(R,R) mit
a) [mm] f(P4(R,R))=x^2+x,x^3 [/mm] und b) Ke(f)=1, [mm] x^4+x
[/mm]
Bemerkung: Und die linearen Abbildungen sind von dreieckigen Klammern umgeben (also Erzeugendenststem).
Wie muss ich hier vorgehen`Kann mir bitte jemand weiterhelfen
liebe grüsse
magda
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 23.08.2006 | | Autor: | SirJective |
Hallo magda,
ich versuche eine Klarstellung der Aufgabe.
> Bestimmen Sie eine lineare Abbildung f: P4(R,R) nach P4(R,R) mit
Was meinst du mit P4(R,R)? Ich vermute, du meinst den fünfdimensionalen [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] der Polynome vom Grad höchstens 4 mit Koeffizienten in [mm] $\IR$.
[/mm]
> a) [mm]f(P4(R,R))=x^2+x,x^3[/mm] und b) Ke(f)=1, [mm]x^4+x[/mm]
Du meinst also $f(P4(R,R)) = < [mm] x^2 [/mm] + x, [mm] x^3 [/mm] >$ und $ke(f) = < 1, [mm] x^4 [/mm] + x >$, also jeweils zweidimensionale Unterräume?
Wenn das tatsächlich so ist, dann kannst du die Aufgabe in eine möglicherweise handlichere Form überführen, indem du zu den Koordinatenräumen bzgl. der Standardbasis $(1, x, ..., [mm] x^4)$ [/mm] übergehst.
Gruß,
SirJective
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mi 23.08.2006 | | Autor: | maggi20 |
Hallo!
Danke für deine schnelle Antwort. Ja das ist damit gemeint. Ich weiss aber überhaupt nicht wie ich vorgehen soll. Ich weiss ja, dass wenn ich mich jetzt auf die Standardbasis im [mm] R^4 [/mm] beziehe z.B. 1 auf 0, x auf 0, [mm] x^2 [/mm] auf [mm] x^2+x, x^3 [/mm] auf [mm] x^3 [/mm] und [mm] x^4 [/mm] auf 0 abgebildet werden. Dann kann ich doch mithilfe der Standardbasis die Matrix ermitteln. Wenn ich diese dann habe was muss ich dann tun. Ich verstehe das nicht. Bitte in Kindersprache...
|
|
|
| |
|
Nach der Dimensionsformel ist [mm] $\dim(P4(R,R)) [/mm] = [mm] \dim(\Kern(f)) [/mm] + [mm] \dim(\Bild(f))$. [/mm] Wenn $P4(R,R)$ tatsächlich der von mir vermutete fünfdimensionale Raum ist, gibt es kein $f$, dessen Kern und Bild beide zweidimensional sind.
Sind das zwei getrennte Teilaufgaben? Also
a) Finde f mit vorgegebenem Bild
und
b) Finde f mit vorgegebenem Kern.
Teil a) ist leicht zu erfüllen: Bilde zwei Basisvektoren auf die gegebenen Bildvektoren ab und die anderen auf 0.
Teil b) ist am leichtesten durch einen Basiswechsel zu lösen: Ergänze die Menge [mm] $\{1, x^4 + x\}$ [/mm] zu einer Basis, und bilde diese beiden Basisvektoren auf 0 und die anderen drei auf sich selbst ab.
Gruß,
SirJective
|
|
|
|
