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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum und U;U' Unterräume.
Sei f : V [mm] \to [/mm] V/U x V/U'
x [mm] \mapsto [/mm] (x + U; x + U'):
Zeige
1. f ist genau dann injektiv, wenn U [mm] \cap [/mm] U' = {0}.
2. f ist genau dann surjektiv, wenn U + U' = V |
Kann mir einer helfen sitze jetzt schon seid zwei stunden dran und bekomme keinen ansatz hin!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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1.
[mm]f[/mm] ist linear, und eine lineare Abbildung ist dann und nur dann injektiv, wenn ihr Kern 0 ist.
"[mm]\Rightarrow[/mm]"
Sei also [mm]f[/mm] injektiv, d.h. [mm]\operatorname{Kern}f = 0[/mm].
Wäre nun [mm]U \cap U' \neq 0[/mm], so gäbe es ein [mm]0 \neq u \in U \cap U'[/mm]. Für dieses [mm]u[/mm] gälte
[mm]f(u) = (u+U,u+U') = (U,U')[/mm]
[mm](U,U')[/mm] ist aber das Nullelement des Bildraumes, also wäre [mm]u \in \operatorname{Kern}f[/mm], d.h. [mm]\operatorname{Kern}f \neq 0[/mm]. Das ist ein Widerspruch! Also ist doch [mm]U \cap U' = 0[/mm].
Das war ausführlich die Hin-Richtung. Jetzt probiere die Rück-Richtung und 2. selbst.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:12 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
Ja muss ich dann auch noch zeigen das f linear ist?
ja die hinrichtung ist mir jetzt klar, aber bei der rückrichtung muss ich doch davon ausgehen, dass wenn U [mm] \cap [/mm] U' = {0}, dann ist
doch 0 [mm] \varepsilon [/mm] U udn 0 [mm] \varepsilon [/mm] U' und jetzt wie geht es weiter?
Und bei der 2ten bekomme ich nix hin und auch andere meines kurses nicht, aber für surjektiv gilt doch dim (Bild f) = Dim (V/W)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
Hat keiner eine Hilfestellung für mich :(
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:35 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Dummy86 |
Habe es glaube ich doch geschafft für die Rückrichtung:
"<="
Wenn f nicht injektiv, dann [mm] \exists z_{1} [/mm] , [mm] z_{2} \in [/mm] V s.d. [mm] z_{1} \not= z_{2} [/mm] und [mm] f(z_{1}) [/mm] = [mm] f(z_{2})
[/mm]
=> [mm] (z_{1}+U, z_{1}+U')=(z_{2} [/mm] +U, [mm] z_{2}+U')
[/mm]
=> [mm] ([z_{1}]u,[z_{1}]u')= ([z_{2}]u,[z_{2}]u')
[/mm]
=> [mm] [z_{1}]u=[z_{2}]u [/mm] sowie [mm] [z_{1}]u'=[z_{2}]u' [/mm]
erklärung[...] äquvivalenzklasse von ... unter der vorschrfit von f
=> [mm] z_{1}-z_{2} \in [/mm] U und [mm] z_{1}-z_{2} \in [/mm] U'
=> [mm] z_{1}-z_{2} \not= [/mm] 0 und [mm] z_{1}-z_{2} \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] U' Widersprich da U [mm] \cap [/mm] U' = 0 und damit f injektiv
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 06.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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