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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Di 20.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
| Aufgabe | Falls nicht anders definiert bezeichnen V und W Vektorräume über einem Körper [mm] \IK
[/mm]
1) Eine Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W ist linear ,genau dann wenn
a) [mm] f(\lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y) = [mm] \lambda [/mm] f(x) + [mm] \mu [/mm] f(y) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V [mm] \lambda, \mu \in \IK
[/mm]
b) f die Vektorraumaxiome erfüllt
c) f(0) = 0
gilt.
2. Ist f: V [mm] \to [/mm] W linear, dann gilt
a) f(-x) = f(x)
b) f(0)=0
c) f(V)=W
3. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann gilt:
a) Jede linear unabhängige Menge, die aus n Vektoren besteht, erzeugt V
b) Jedes Erzeugendensystem hat mindestens n Elemente
c) Jede Menge, die aus n Vektoren besteht, erzeugt V
4. Es seien U und W zewi UVR von V. Dann gilt:
a) dim (U+W)=dim U +dim W
b) dim (U+W)=dim U +dim W - dim(U [mm] \cap [/mm] W)
c) dim (U+W)=dim U +dim W + dim(U [mm] \cap [/mm] W)
5. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann gilt:
a) Es gibt eine Basis von V, die aus genau n Vektoren besteht
b) Jede Basis von V besteht aus genau n Vektoren
c) Jede Basis hat mehr als n-Elemente |
Habe wiedermal ein paar Aussagen zu bewerten :
Zu 1)
Hier müsste a) richtig sein, da das ein Teil der Definition der Linearen Abbildung ist.
Ist b) evtl. auch richtig ?
Zu 2)
Hier müsste b) und c)(?) richtig sein.
b) da der Der Nullvektor von V auf den Nullvektor von W abgebildet wird.
c) bin mir da nicht sicher: Da allen Elementen aus V ein Element aus W zugeordnet wird
zu 3)
Hier müsste b) richtig sein
zu 4)
Hier habe ich keine Idee, spontan würd ich sagen b) ist richtig da bei Einer Abbildung zweier VR ja die Dimension nicht größer werden kann als einer der Dimension des Untervektorraum
zu 5)
Hier ist b) richtig also folglich auch a)
Gruß LoBi83
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> Falls nicht anders definiert bezeichnen V und W
> Vektorräume über einem Körper [mm]\IK[/mm]
> 1) Eine Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W ist linear ,genau dann wenn
> a) [mm]f(\lambda[/mm] x + [mm]\mu[/mm] y) = [mm]\lambda[/mm] f(x) + [mm]\mu[/mm] f(y) [mm]\forall[/mm]
> x,y [mm]\in[/mm] V [mm]\lambda, \mu \in \IK[/mm]
> b) f die Vektorraumaxiome
> erfüllt
> c) f(0) = 0
> gilt.
>
> 2. Ist f: V [mm]\to[/mm] W linear, dann gilt
> a) f(-x) = f(x)
> b) f(0)=0
> c) f(V)=W
>
> 3. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann gilt:
> a) Jede linear unabhängige Menge, die aus n Vektoren
> besteht, erzeugt V
> b) Jedes Erzeugendensystem hat mindestens n Elemente
> c) Jede Menge, die aus n Vektoren besteht, erzeugt V
>
> 4. Es seien U und W zewi UVR von V. Dann gilt:
> a) dim (U+W)=dim U +dim W
> b) dim (U+W)=dim U +dim W - dim(U [mm]\cap[/mm] W)
> c) dim (U+W)=dim U +dim W + dim(U [mm]\cap[/mm] W)
>
> 5. Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann gilt:
> a) Es gibt eine Basis von V, die aus genau n Vektoren
> besteht
> b) Jede Basis von V besteht aus genau n Vektoren
> c) Jede Basis hat mehr als n-Elemente
> Habe wiedermal ein paar Aussagen zu bewerten :
> Zu 1)
> Hier müsste a) richtig sein, da das ein Teil der
> Definition der Linearen Abbildung ist.
Hallo,
ein Teil? Was willst Du denn sonst noch dazu haben?
(Wenn's nur ein Teil wäre, wär's auch nicht richtig, denn oben ist die Rede v. "gdw".
> Ist b) evtl. auch richtig ?
Wie soll denn eine Abbildung Vektorraumaxiome erfüllen? Das können nur Mengen mit Verknüpfungen.
>
> Zu 2)
> Hier müsste b) und c)(?) richtig sein.
> b) da der Der Nullvektor von V auf den Nullvektor von W
> abgebildet wird.
Das ist auf jeden Fall richtig.
> c) bin mir da nicht sicher: Da allen Elementen aus V ein
> Element aus W zugeordnet wird
Müssen lineare Abbildungen surjektiv sein?
>
> zu 3)
> Hier müsste b) richtig sein
Warum nicht a)?
Warum nicht c)?
>
> zu 4)
> Hier habe ich keine Idee, spontan würd ich sagen b) ist
> richtig
Das ist der Dimensionssatz.
>
> zu 5)
> Hier ist b) richtig also folglich auch a)
Genau.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Di 20.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
zu 2) b ist richtig das ist mir klar da f(0) = f(0+0) = 0 f(0) = 0
c) f(V) = W ist ein Epimorphismus wenn f linear ist. Muss es aber nicht sein f kann auch injektiv oder bijektiv sein. Heisst das jetzt das die Aussage falsch ist. (sind multiple choice fragen) Ich würde sagen ja.
zu 3) a und b sind richtig, denn jede linear unabhängige Menge mit n Vektoren ist eine Basis und erzeigt V und b ist richtig da jedes Erzeugendensystem eine Basis enthalten muss. Wäre dies nicht der Fall dann könnten nicht alle Veltoren linear kombiniert werden.
zu 4) ist klar Dimensionssatz
zu 5) c muss flasch sein da dies der def der Basis widerspricht. a und b sind richtig
Bin mir bei der 2 nicht ganz sicher das mit dem Epimorphismus
Ok so?
Gruß
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> Bin mir bei der 2 nicht ganz sicher das mit dem
> Epimorphismus
Es ist in der Aufgabe ja gefragt, ob aus der Linearität f(V)=W folgt.
Das ist nicht der Fall. Man müßte also "falsch" ankreuzen.
Es gibt aber lineare Abbildungen, bei denen f(V)=W ist, bei den surjektiven unter den linearen Abbildungen nämlich.
Das sind die Epimorphismen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Mi 21.11.2007 | | Autor: | mulholli |
ich denke bei der 3 ist nur die b) richtig. nicht die a).
denn nehmen wir mal den R2 und die verktoren (-1 1) und (2 -1).
dann haben wir einen 2 dimensionalen raum und 2 linearunabhängige vektoren, die aber nicht den R2 erzeugen. der vektor (1 1) zB kann nicht als linear kombination der beiden anderen dargestellt werden.
oder sehe ich da irgendwas falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
hi wenn du eine anzwort haben willst dann musst du das als frage formulieren :)
deine ausführungen sind mir einleuchtend...hmmm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Mi 21.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das siehst du falsch!
(-1 1) + (2 -1)=(1 0)
2*(-1 1) +(2 1) =(0,1)
jetzt kannst du deinen Vektor sicher selbst.
aus 2 lin unabh. Vektoren in R2 kann man immer jeden anderen herstellen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Mi 21.11.2007 | | Autor: | mulholli |
mach sinn!
danke, nochmal auf die letzte minute gerettet :)
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