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| Aufgabe | Entscheiden Sie welche der folgenden Abbildungen linear sind und
berechnen Sie ggf. Kern und Bild.
a) f : (a, b, c) [mm] \in R^3 \mapsto [/mm] (ab, a + b) [mm] \in R^2,
[/mm]
b) g : (u, v) [mm] \in R^2 \mapsto [/mm] (3u + 1, 4v + u − 1) [mm] \in R^2,
[/mm]
c) h : (x, y) [mm] \in R^2 \mapsto [/mm] (x + 3y, y − 3x, 0) [mm] \in R^3,
[/mm]
d) k : z [mm] \in [/mm] C [mm] \mapsto z_2 [/mm] C mit C als CVektorraum,
e) l : z [mm] \in [/mm] C [mm] \mapsto z_2 [/mm] C mit C als RVektorraum.
Hierbei ist [mm] z_2 [/mm] die konjugiert-komplexe Zahl (a - ib). |
Hallo, ich habe herausgefunden, dass c) und e) jeweils lineare Abbildungen sind. Die anderen sind nicht lineare Abbildungen. Nun möchte ich auch die Kerne und Bilder dieser Abbildungen bestimmen.
WIE MACHE ICH DAS?
Bei c) ist der Kern (0, 0), da nur dann der Nullvektor in [mm] R^3 [/mm] erreicht wird. So sieht's auch bei e) aus. Kern ist (0, i0).
Bei dem Bild hatte ich die Idee, dass das Bild in c) einfach (x + 3y, y − 3x, 0) [mm] \in R^3 [/mm] sein muss. Stimmt das? Falls nicht, wie kann ich das Bild ermitteln?
Danke...
D.Q.
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Hallo,
Hallo, ich habe herausgefunden, dass c) und e) jeweils lineare Abbildungen sind. Die anderen sind nicht lineare Abbildungen. Nun möchte ich auch die Kerne und Bilder dieser Abbildungen bestimmen.
WIE MACHE ICH DAS?
Bei c) ist der Kern (0, 0), da nur dann der Nullvektor in erreicht wird. So sieht's auch bei e) aus. Kern ist (0, i0).
So sehe ich es auch!
Das Bild berechnest du indem du die Bilder der Basisvektoren berechnest.
Diese bilden dann einen Vektorraum, und alle Vektoren die dann da drinnen sind, sind dann das Bild.
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| Aufgabe | | Ja, danke aber könntest du mir auch einen Rechenansatz geben? |
D.Q.
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Hallo Doc,
die Kerne kannst du bestimmen, indem du stumpf nachrechnest, welche Vektoren auf [mm] $\vec{0}$ [/mm] abgebildet werden:
bei (c): [mm] $\vektor{x\\y}\mapsto\vektor{x+3y\\y-3x\\0}\stackrel{!}{=}\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Das kannst du "schematisch"  berechnen.
Für die Berechnung der Bilder bastel dir ne Abbildungsmatrix.
Nimm dir am einfachsten die Standardbasen der Ausgangs-VRe her und stelle die Abbildungmatrix auf. Deren Spalten spannen das Bild auf
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | Hi, die Sache mit der Abbildungsmatrix habe ich nicht ganz verstanden, da wir das in den Vorlesungen nicht hatten_habe ich das richtig verstanden? Ich muss eine Abbildungsvorschrift "finden", bei der "A" auf "B" abgebildet wird. Oder? Und wie mache ich das genau? |
D.Q.
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> Hi, die Sache mit der Abbildungsmatrix habe ich nicht ganz
> verstanden, da wir das in den Vorlesungen nicht hatten_habe
> ich das richtig verstanden? Ich muss eine
> Abbildungsvorschrift "finden", bei der "A" auf "B"
> abgebildet wird. Oder? Und wie mache ich das genau?
> D.Q.
Hallo,
geht's jetzt um's Bild einer linearen Abbildung?
Dann nimm Dir eine Basis des Startraumes, berechne die Bilder der Basisvektoren.
Diese Vektoren erzeugen das Bild der Abbildung.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | "Dann nimm Dir eine Basis des Startraumes, berechne die Bilder der Basisvektoren.
Diese Vektoren erzeugen das Bild der Abbildung."
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Mein Startraum ist doch [mm] \vektor{x \\ y} \in R^2, [/mm] oder?
D.h. eine Basis ist z.b. [mm] span\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} \}. [/mm] Jetzt habe ich eine Basis des Startraumes...wie berechne ich jetzt die Bilder der Basisvektoren? Ich habe ma gerechnet und habe folgende Bilder:
[mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 0}. [/mm] Also: Kann ich jetzt sagen, dass [mm] span(f(\vektor{x \\ y})) [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ -3 \\ 0}, \vektor{3 \\ 1 \\ 0} \} [/mm] ist, und dass das mein Bild ist?
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> "Dann nimm Dir eine Basis des Startraumes, berechne die
> Bilder der Basisvektoren.
> Diese Vektoren erzeugen das Bild der Abbildung."
>
Hallo,
es scheint also speziell um Aufgabe c) zu gehen.
> Mein Startraum ist doch [mm] R^2,[/mm] oder?
Ja.
> D.h. eine Basis ist z.b. [mm]span\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\{ \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} \}.[/mm]
Du meinst sicher das Richtige. Es ist [mm] \IR^2=span\{ \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} \}, [/mm] und B:=( [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}) [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
> Jetzt habe ich eine Basis des Startraumes...wie berechne
> ich jetzt die Bilder der Basisvektoren? Ich habe ma
> gerechnet und habe folgende Bilder:
> [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 0}.[/mm]
Ja.
> Also: Kann
> ich jetzt sagen, dass [mm]span(f(\vektor{x \\ y}))[/mm] = [mm]\{ \vektor{1 \\ -3 \\ 0}, \vektor{3 \\ 1 \\ 0} \}[/mm]
> ist, und dass das mein Bild ist?
Du kannst sagen, daß das Bild der Abbildung [mm] span\{ \vektor{1 \\ -3 \\ 0}, \vektor{3 \\ 1 \\ 0} \} [/mm] ist, und da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, sind sie eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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Danke...hast mich gerettet! ;)
D.Q.
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