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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Fr 13.06.2008 | | Autor: | ereger |
| Aufgabe | Es seien V,W Vektorräume über demselben Körper K.Man zeige, dass die Menge:
Lin(V,W):= { f [mm] \in [/mm] Map(V,W): f linear }
ein Untervektorraum des K-Vektorraums Map(V,W) ist. |
Hallo!
Um dies zu zeigen muss man drei Eigenschaften des UVR zeigen:
1)Das es kein leerer Raum ist.Das ist klar, da jeder Raum einen Nullvektor enthält.
2)Abgeschlossen bezüglich Vektoraddition.Das weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll??
3)Abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation.Dies kann ich mir auch nicht vorstellen.
Bitte könnte mir jemand hiermit helfen?
Ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey
Du hast zwar bei 1. recht, dass jeder Raum einen Nullvektor enthält, allerdings heißt es hier wohl besser Nullabbildung, denn 0 [mm] \in [/mm] Lin(V,W).
Du musst bei den anderen folgendes zeigen:
Sei f,g [mm] \in [/mm] Lin(V,W) ; x,y [mm] \in [/mm] V ; a,b,c [mm] \in \IK
[/mm]
1. (f+g)(ax+by) = a*(f+g)(x) + b*(f+g)(y) ; denn dann wäre f+g [mm] \in [/mm] Lin(V,W)
2. (c*f)(ax+by) = a*(c*f)(x) + b*(c*f)(y) ; denn dann wäre (cf)(x) [mm] \in [/mm] Lin(V,W)
Ansatz bei 1. :
(f+g)(ax+by) = f(ax+by)+g(ax+by) = ....
Nun musst du die Eigenschaften der Linearität nutzen und den Term immer weiter aufblättern und schließlich neu zusammen fügen. Das gleiche bei 2.!
Viel Glück
Woodstock
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Sa 14.06.2008 | | Autor: | ereger |
Zu 1 habe ich verstanden wie man es macht aber ich verstehe nicht so ganz wieso in 2 (ax+by) nehmen sollte, muss man da nicht
> 2. (c*f)(ax) = a*(c*f)(x) ; denn dann wäre
> (cf)(x) [mm]\in[/mm] Lin(V,W)
Da es in zwei nur um eine funktion handelt?
Gruß ereger
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> Zu 1 habe ich verstanden wie man es macht aber ich verstehe
> nicht so ganz wieso in 2 (ax+by) nehmen sollte, muss man da
> nicht
>
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> > 2. (c*f)(ax) = a*(c*f)(x) ; denn dann wäre
> > (cf)(x) [mm]\in[/mm] Lin(V,W)
>
> Da es in zwei nur um eine funktion handelt?
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, daß ich Deine Frage richtig verstehe.
Daß die Summe zweier Funktionen von V nach W wieder eine Funktion v. V nach W ist, ist ja schon bekannt, ebenso wie die Tatsache, daß das skalare Vielfache einer Funktion von V nach W wieder eine Funktion v. V nach W ist, denn daß Map(V,W) ein K-Vektorraum ist, habt Ihr ja längst gezeigt.
Hier geht es darum, zu zeigen, daß die Summe zweier linearer Funktionen (bzw. das skalare Vielfache einer linearen Funktion) wieder eine lineare Funktion ist.
Es sind also für g+f bzw. cf die Linearitätseigenschaften nachzuweisen.
Also ist zu zeigen, daß für alle f,g [mm] \in [/mm] Lin(V,W), [mm] x,y\in [/mm] V, [mm] a,b\in [/mm] K
(g+f)(ax+by)=a((g+f)(x)) + b((g+f))(y) und
(cf)(ax+by)=a((cf)(x))+b((cf)(y))
richtig ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Sa 14.06.2008 | | Autor: | ereger |
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Vielen Dank!
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