Lineare Abbildungen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fhhst |
| Aufgabe | [mm] f1:R^{2} [/mm] -> [mm] R^{3} [/mm] mit [mm] f(\vektor{x1 \\ x2}) [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ x1 \\ x1*x2} [/mm] ist nicht Linear abhängig
[mm] f2:R^{4} [/mm] -> R mit [mm] f(\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{4}k^{2} [/mm] * [mm] x_{k} [/mm] ist linear abhängig
[mm] f3:R^{n} [/mm] -> [mm] R^{n+1} [/mm] mit [mm] f(\vektor{x1 \\ x2 \\ . \\ . \\ x2}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist linear abhängig
[mm] f4:R^{2} [/mm] -> R mit [mm] f(\vektor{x1 \\ x2}) [/mm] = [mm] x_{1}^{3}+x_{2}^{3} [/mm] ist nicht linear abhängig
[mm] f5:R^{3} [/mm] -> [mm] R^{2} [/mm] mit [mm] f(\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}) [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ 0} [/mm] ist nicht Linear abhängig |
Hallo.
Ich soll feststellen ob folgende Abbildungen linear sind. Bin mir jedoch nicht sicher ob ich die Aufgaben richitg gerechnet habe. Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mi 11.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo und herzlich willkommen im Matheraum!
Du scheinst da was zu verwechseln. Du sollst hier prüfen, ob die angegeben Abbildungen linear sind. Lineare Unabhängigkeit ist was anderes. Das musst du dir mal in deinem Skript ansehen.
> Bin mir jedoch nicht sicher ob ich die Aufgaben richitg
> gerechnet habe. Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Wie hast du denn gerechnet? Du hast jetzt nur deine Lösungen, nicht aber den Rechenweg hingeschrieben. Es wäre schön, wenn du uns zumindest für eine Teilaufgabe deine Rechenschritte gezeigt hättest. Dann sieht man schon, ob du das Prinzip verstanden hast.
Betrachten wir mal [mm]f_5:\IR^{3}\to\IR^{2}, f_5(\vektor{x1 \\
x2 \\
x3})=\vektor{x1 \\
0} [/mm]
Was muss für Linearität gelten?
i) für alle [mm]a\in\IR[/mm],[mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}\in\IR^3[/mm] muss gelten: [mm]f_5(ax)=a*f_5(x)[/mm]
Also, [mm]f_5(ax)=\vektor{a*x_1 \\
a*0}=a*\vektor{x1 \\
0}=a*f_5(x)[/mm]
i) ist also schon mal erfüllt.
Zudem muss gelten: ii) Für alle [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3},y=\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}\in\IR^3[/mm] gilt [mm]f_5(x+y)=f_5(x)+f_5(y)[/mm]
Nun denn: [mm]f_5(x+y)=\vektor{x_1+y_1\\
0}=\vektor{x_1\\
0}+\vektor{y_1\\
0}=f_5(x)+f_5(y)[/mm].
Du siehst, i) und ii) sind für [mm]f_5[/mm] erfüllt. Also ist [mm]f_5[/mm] linear.
Jetzt wäre schon zu wissen, wie du gerechnet hast.
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 12.05.2011 | | Autor: | fhhst |
| Aufgabe | | f1 [mm] R^2 [/mm] in [mm] R^3 [/mm] mit [mm] \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x1 \\ x1 \\ x1 * x2 \end{pmatrix} [/mm] |
Vielen dank für die Antwort, ich meinte natürlich lineare Funktionen, Entschuldigung dafür. Hier ein Beispiel meines Rechenweges
Ist die Funktion linear?
ich wende nun die 2 Gesetze bei der Funktion an:
1. Gesetz f(ax) = a * f(x)
f(ax) = [mm] ( \begin{pmatrix} a * x1 \\ a * x1 \\ a * x1 *x2 \end{pmatrix} [/mm] = a * [mm] f(\begin{pmatrix} x1 \\ x1 \\ x1*x2 \end{pmatrix} [/mm] = a * f(x)
2. Gesetz f(x + y) = f(x) + f(y)
f(x+y) = [mm] \begin{pmatrix} x + y1 \\ x1 + y1 \\ x1 * x2 + y1 * y2 \end{pmatrix} [/mm] = f [mm] \begin{pmatrix} x1 \\ x1 \\ x1*x2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] f \begin{pmatrix} y1 \\ y1 \\y1 * y2 \end{pmatrix} [/mm] = f(x) + f(y)
Die Funktion wäre dann meines Erachtens linaer.
Können Sie mir das bestätigen oder bei einen Fehler wiederlegen? Würde mich sehr freuen.
Mfg.
|
|
|
| |
|
> f1 [mm]R^2[/mm] in [mm]R^3[/mm] mit [mm] \begin{pmatrix} x1\\
x2 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm] \begin{pmatrix} x1 \\
x1 \\
x1 * x2 \end{pmatrix}[/mm]
> Vielen
> dank für die Antwort, ich meinte natürlich lineare
> Funktionen, Entschuldigung dafür. Hier ein Beispiel meines
> Rechenweges
>
> Ist die Funktion linear?
>
> ich wende nun die 2 Gesetze bei der Funktion an:
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zu zeigen:
> 1. Gesetz f(ax) = a * f(x)
>
> f(ax) = [mm]( \begin{pmatrix} a * x1 \\
a * x1 \\
a * x1 *x2 \end{pmatrix}[/mm]
Nein, das stimmt nicht.
Mach langsam und laß, solange Du nicht sehr sicher bist, keine Zwischenschritte aus.
Es ist
[mm] f(ax)=f(a\vektor{x_1\\x_2})= f(\vektor{ax_1\\ax_2})= [/mm] ...;
hingegen ist
[mm] a*f(x)=a*f(\vektor{x_1\\x_2})= a*\vektor{x_1\\x_1\\x_1})= [/mm] ... .
> = a * [mm]f(\begin{pmatrix} x1 \\
x1 \\
x1*x2 \end{pmatrix}[/mm] = a * f(x)
>
> 2. Gesetz f(x + y) = f(x) + f(y)
>
> f(x+y) = [mm] \begin{pmatrix} x + y1 \\
x1 + y1 \\
x1 * x2 + y1 * y2 \end{pmatrix}[/mm] = f [mm]\begin{pmatrix} x1 \\
x1 \\
x1*x2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]f \begin{pmatrix} y1 \\
y1 \\
y1 * y2 \end{pmatrix}[/mm] = f(x) + f(y)
Mach auch hier langsam!
[mm] f(x+y)=f(\vektor{x_1\\x_2}+ \vektor{y_1\\y_2})=f(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2}= \vektor{x_1+y_1\\x_1+y_1\\ ???}
[/mm]
f(x)+f(y)= ...+...= ...
> Die Funktion wäre dann meines Erachtens linaer.
Bist Du immer noch dieser Meinung?
>
> Können Sie mir das bestätigen
Leider nicht.
Aber Du darfst hier jeden duzen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 So 15.05.2011 | | Autor: | fhhst |
Hallo Barsch und Angela vielen Dank für euer Engagement!!! Jedoch muss ich leider gestehen, dass ich die Aufgaben bis heute immer noch nicht verstanden habe bzw. lösen kann. Jedoch wäre ich sehr froh dies tun zu können.
Kann mir jemand villt. an dem Bsp. der Funktion [mm] f_{4} [/mm] noch mal ganz ausfühlich den Rechenweg bzw. die logischen Schritte bis zur Lösung erklären. Ich wäre euch sehr Dankbar dafür!
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich hatte Dir doch sehr ausführlich gezeigt, was Du tun mußt, um zu püfen, ob eine Funktion linear ist. Ich hätte eigentlich hier gern mal gesehen, was Du damit gemacht hast.
Prinzipiell:
wenn Du zeigen möchtest, daß eine Abbildung [mm] f:V\to [/mm] W linear ist,
mußt Du vorrechnen, daß für alle Vektoren [mm] x,y\in [/mm] V und für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt:
f(x+y)=f(x)+f(y)
und
f(rx)=rf(x).
Gelingt es Dir, diese Gleichheiten zu zeigen, so ist die Abbildung linear.
Wenn Du merkst, daß die Abbildung nicht linear ist, genügt die Angabe eines einzigen konkreten Beispiels dafür, daß eine der Gleichungen nicht funktioniert.
Ich rechne Dir jetzt zwei ausgedachte Beispiele vor.
In einem beweise ich Linearität, in dem anderen, daß die Funktion nicht linear ist.
A.
[mm] f:\IR^2\to \IR^3
[/mm]
[mm] f(\vektor{x_1\\x_2}):=\vektor{3x_1+4x_2\\x_1}
[/mm]
Zu zeigen 1: es ist f(x+y)=f(x)+f(y) für alle [mm] x,y\in \IR^2.
[/mm]
Beweis: Seien [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2}, y:=\vektor{y_1\\y_2} \in \IR^2.
[/mm]
Es ist
[mm] f(x+y)=f(\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{y_1\\y_2} [/mm] )
[mm] =f(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2})
[/mm]
[mm] =\vektor{3(x_1+y_1)+4(x_2+y_2)\\x_1+y_1}=
[/mm]
[mm] \vektor{3x_1+4x_2+3y_1+4y_2\\x_1+y_1},
[/mm]
und es ist
f(x)+f(y)= [mm] f(\vektor{x_1\\x_2})+f(\vektor{y_1\\y_2} [/mm] )
[mm] =\vektor{3x_1+4x_2\\x_1}+\vektor{3y_1+4y_2\\y_1}
[/mm]
[mm] =\vektor{(3x_1+4x_2)+(3y_1+4y_2)\\x_1+y_1)}
[/mm]
[mm] =\vektor{3x_1+4x_2+_1+4y_2\\x_1+y_1)}.
[/mm]
Also ist f(x+y)=f(x)+f(y) f.a. [mm] x,y\in \IR^2.
[/mm]
Zu zeigen 2: es ist f(rx)=rf(x) für alle [mm] x\in \IR^2 [/mm] und [mm] \lambda\in \IR.
[/mm]
Beweis: sei [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2}\in \IR^2 [/mm] und [mm] r\in \IR.
[/mm]
Es ist
[mm] f(rx)=f(r*\vektor{x_1\\x_2})= f(\vektor{rx_1\\rx_2})=\vektor{3rx_1+4rx_2\\rx_1},
[/mm]
und es ist
[mm] rf(x)=rf(\vektor{x_1\\x_2})=r*\vektor{3x_1+4x_2\\x_1}=\vektor{r(3x_1+4x_2)\\rx_1})=\vektor{3rx_1+4rx_2\\rx_1}.
[/mm]
Also ist f(rx)=rf(x) für alle [mm] x\in \IR^2 [/mm] und [mm] \lambda\in \IR.
[/mm]
Insgesamt hat man: die Abbildung f ist linear.
B.
[mm] g:\IR^2\to \IR^3
[/mm]
[mm] g(\vektor{x_1\\x_2}):=\vektor{3x_1+4x_2\\x_1+1}
[/mm]
Prüfe, ob g(x+y)=g(x)+g(y):
---
Seien [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2}, y:=\vektor{y_1\\y_2} \in \IR^2.
[/mm]
Es ist
[mm] g(x+y)=g(\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{y_1\\y_2} [/mm] )
[mm] =g(\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2})
[/mm]
[mm] =\vektor{3(x_1+y_1)+4(x_2+y_2)\\(x_1+y_1)+1}=
[/mm]
[mm] \vektor{3x_1+4x_2+3y_1+4y_2\\x_1+y_1+1},
[/mm]
und es ist
g(x)+g(y)= [mm] f(\vektor{x_1\\x_2})+f(\vektor{y_1\\y_2} [/mm] )
[mm] =\vektor{3x_1+4x_2\\x_1+1}+\vektor{3y_1+4y_2\\y_1+1}
[/mm]
[mm] =\vektor{(3x_1+4x_2)+(3y_1+4y_2)\\(x_1+1)+(y_1+1))}
[/mm]
[mm] =\vektor{3x_1+4x_2+_1+4y_2\\x_1+y_1+2)}.
[/mm]
Du stellst fest: g(x+y) und g(x)+g(y) sind nicht gleich.
---
Das, was zwischen die Strichen steht, brauchst Du für die Lösung der Aufgabe gar nciht hinzuschreiben. Du hast jetzt für Dich festgestellt, daß die Abbildung g nisht linear ist, und dies beweist Du jetzt mit einem einzigen Gegenbeispiel.
So:
Beh: g ist nicht linear.
Bew. Sei [mm] x:=\vektor{0\\0} [/mm] und [mm] y:=\vektor{1\13}.
[/mm]
Es ist [mm] g(x+y)=g(\vektor{1\\13})=\vektor{3+42\\1+1}=\vektor{45\\2},
[/mm]
es ist jedoch [mm] g(x)+g(y)=\vektor{0\\1}+\vektor{45\\1}.
[/mm]
Somit ist g nicht linear.
Jetzt kannst Du Dich in diesem Stile mal über Deine Aufgaben hermachen.
Gruß v. Angela
P.S.:Linearität kannst Du auch zeigen, indem Du zeigst, daß es eine Matrix A gibt, so daß f(x)=Ax für alle x.
Kommt halt darauf an, ob dies schon dran war.
>
|
|
|
| |
|
> [mm]f1:R^{2}[/mm] -> [mm]R^{3}[/mm] mit [mm]f(\vektor{x1 \\
x2})[/mm] = [mm]\vektor{x1 \\
x1 \\
x1*x2}[/mm]
> ist nicht Linear abhängig
Hallo,
die Aufgabenstellung ist Schwachsinn!
Es muß heißen "... ist nicht linear".
Ich hoffe, es ist nur ein Schusselfehler - das passiert und ist nicht der Rede wert.
Falls Du aber nicht weißt, was "lineare Funktion" und was "linear abhängige Menge von Vektoren" bedeutet, solltest Du diesen Zustand schleunigst ändern.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
