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| Aufgabe | Ermittle die lineare Abbildung L , wenn die Eigenwerte [mm] a_1=1, a_2=2 [/mm] und [mm] a_3=3 [/mm] bkannt sind für: [mm] p_1(x)=1+x, p_2(x)=1-x [/mm] und [mm] p_3(x)=x^2+2.
[/mm]
Es sei bekannt, dass L von R_(<=)2[x]->R_(<=)2[x] existiert. |
Eigenwerte sind bekannt, wie bildet man jetzt die Abbildung ?
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moin,
"Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basis eindeutig bestimmt."
Schonmal den Satz gehört?^^
Du hast mit [mm] $p_1,p_2,p_3$ [/mm] eine Basis gegeben und wenn [mm] p_1 [/mm] auf sich selber geht, [mm] p_2 [/mm] auf sein doppeltes, [mm] p_3 [/mm] auf sein dreifaches, dann hast du auch die Bilder dieser Basis; und somit hast du die gewünschte lineare Abbildung.
Wenn du noch eine Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis haben möchtest rechnest du halt die Bilder der Standardbasis aus und schreibst sie dann in die Matrix.
MfG
Schadow
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Ja, genau , eigentlich war es mir auch schon klar.
Aber wie schreibt man es auf?
[mm] L_1(1+x)=1+x, L_2(1-x)=2(1-x).............................?
[/mm]
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> Ja, genau , eigentlich war es mir auch schon klar.
> Aber wie schreibt man es auf?
> [mm]L_1(1+x)=1+x, L_2(1-x)=2(1-x).............................?[/mm]
>
nenn es alles L, nicht [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2 [/mm] (sonst denkt man es seien zwei verschiedene Funktionen).
An sonsten passt das so, ja
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Danke erst einmal . Und wir schreibe ich es in Form einer Matrix auf?
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Das kommt ganz drauf an.
Du brauchst auf jeden Fall eine $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix.
Dann musst du deine Polynome als Vektoren schreiben.
Mit der Standardbasis wäre das [mm] $ax^2 [/mm] + bx + c [mm] \to \vektor{a \\ b \\ c}$
[/mm]
Dann schreibst du die Bilder der Basis als Spalten in die Matrix und fertig bist du.
Du musst aber bedenken, falls du deine Polynome in obiger Form als Vektoren schreiben willst, musst du die Bilder der Standardbasis in die Matrix schreiben, nicht die Bilder der gegebenen Matrix.
Diese Bilder erhälst du aus deinen Bildern indem du die Linearität von L ausnutzt.
Also zum Beispiel:
$L(1) = L(0,5*(1+x+1-x)) = 0,5*L(1+x) + 0,5*L(1-x)$
Du kannst natürlich auch die Bilder, die du bereits hast, in die Matrix schreiben, aber dann hast du es eben nicht bezüglich der Standardbasis und du musst ein wenig mehr überlegen.
MfG
Schadow
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[mm] \vektor{0 \\ 1\\1}, \vektor{0 \\ -2\\2},\vektor{3\\ 0\\6}
[/mm]
wäre es doch dann in meinem Fall in der Vektorschreibweise?
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Wie gesagt, arbeite besser mit L(1), L(x) und [mm] L(x^2), [/mm] sonst wird die ganze Sache kompliziert.^^
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Wie kommst du auf:
>L(1) = L(0,5*(1+x+1-x)) = 0,5*L(1+x) + 0,5*L(1-x) ?
Was wäre denn dann L(x)?
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> Wie kommst du auf:
> >L(1) = L(0,5*(1+x+1-x)) = 0,5*L(1+x) + 0,5*L(1-x) ?
Rechne doch mal
0,5*(1+x+1-x) aus; du wirst staunen, was da raus kommt. ;)
Der Rest benutzt einfach die Tatsache, dass L linear ist.
> Was wäre denn dann L(x)?
Nun, dafür musst du x auch als Linearkombination deiner Basiselemente schreiben und das dann auseinanderziehen.
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