Lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Do 22.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll folgende Abbildungen auf Linearität überprüfen.
Eine Lineare Abbildung hat ja folgende Eigenschaft: [mm] f(\lambda*x+\mu*y)=\lambda*f(x)+\mu*f(y)
[/mm]
Das habe ich jetzt versucht so gut wie möglich auf die nachfolgenden Abbildungen anzuwenden.
[mm] \IR^2 \to \IR^2 ,\vektor{x \\ y}\mapsto \vektor{x/2+y/4 \\ x} [/mm] lin.Abb.
[mm] \IR \to \IR, x\mapsto [/mm] ax+b für a,b [mm] \in\IR [/mm] fest gewählt lin.Abb
[mm] \IR^2 \to \IR, \vektor{x \\ y}\mapsto\vektor{1 \\ 1}*\vektor{x \\ y} [/mm] keine lin.Abb
[mm] \IR^3 \to \IR^3,(x,y,z)^T \mapsto (x+2y,x+z,3z)^T [/mm] Lin Abb
[mm] \IR^3 \to \IR ,(x,y,z)^T \mapsto \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] lin.Abb
[mm] \IC \to \IC [/mm] ,z [mm] \mapsto [/mm] z(quer) keine Ahnung
C[0,1] [mm] \to [/mm] C [0,1] , f(x) [mm] \mapsto F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] ebenfalls keine Ahnung
C[0,1] [mm] \to [/mm] R , f(x) [mm] \mapsto \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
ich hoffe die angebenen stimmen wenigstens halbwegs :S
|
|
| |
|
Hallo,
> Eine Lineare Abbildung f hat ja folgende Eigenschaft:
sie bildet aus einem VR V in einen VR W ab, und für alle [mm] x,y\in [/mm] V und für alle [mm] \lambda, \mu\in \IR [/mm] gilt
> [mm]f(\lambda*x+\mu*y)=\lambda*f(x)+\mu*f(y)[/mm].
>
> Das habe ich jetzt versucht so gut wie möglich auf die
> nachfolgenden Abbildungen anzuwenden.
Schade, daß Du Deine Beweise nicht hinschreibst.
Zumindest bei den Aufgaben, die mißglückt sind, solltest Du das nachholen, damit man herausfindet, wo der Fehler liegt.
>
> [mm]\IR^2 \to \IR^2 ,\vektor{x \\
y}\mapsto \vektor{x/2+y/4 \\
x}[/mm] lin.Abb.
Richtig
>
> [mm]\IR \to \IR, x\mapsto[/mm] ax+b für a,b [mm]\in\IR[/mm] fest gewählt
> lin.Abb
Falsch
>
> [mm]\IR^2 \to \IR, \vektor{x \\
y}\mapsto\vektor{1 \\
1}*\vektor{x \\
y}[/mm]
> keine lin.Abb
falsch
>
> [mm]\IR^3 \to \IR^3,(x,y,z)^T \mapsto (x+2y,x+z,3z)^T[/mm] Lin Abb
Richtig
>
> [mm]\IR^3 \to \IR ,(x,y,z)^T \mapsto \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
> lin.Abb
falsch
>
> [mm]\IC \to \IC[/mm] ,z [mm]\mapsto[/mm] z(quer) keine Ahnung
Was mußt Du zeigen? Wo ist das Problem?
Die noch folgenden Aufgaben stellen wir lieber zurück, bis der Rest klar ist.
LG Angela
> C[0,1] [mm]\to[/mm] C [0,1] , f(x) [mm]\mapsto F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> ebenfalls keine Ahnung
>
> C[0,1] [mm]\to[/mm] R , f(x) [mm]\mapsto \integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> ich hoffe die angebenen stimmen wenigstens halbwegs :S
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 22.03.2012 | | Autor: | racy90 |
für [mm] \IR \to \IR, x\mapsto [/mm] ax+b für a,b [mm] \in \IR [/mm] fest gewählt habe ich so gerechnet.
[mm] f(\lambda*\vektor{x_1 \\ y_1}+\mu*\vektor{x_2 \\ y_2}=f\vektor{\lambda*x_1+\mu *x_2 \\ \lambda*y_1+\mu*y_2}
[/mm]
= [mm] \vektor{1 \\ 1}*\vektor{\lambda*x_1+\mu *x_2 \\ \lambda*y_1+\mu*y_2}=
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 1}(\lambda*\vektor{x_1 \\ y_1}+\mu*\vektor{x_2 \\ y_2})
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 1}*\lambda*f(x)+\mu*f(y)
[/mm]
da wird dann doch nur f(x) mit dem Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] mulitpliziert ??
Hier [mm] \IR^3 \to \IR ,(x,y,z)^T \mapsto \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] habe ich so gerechnet
[mm] f(\lambda*(x_1,y_1,z_1)+\mu*(x_2,y_2,z_2))=f(\lambda*x_1+\mu*x_2,\lambda*y_1+\mu*y_2,\lambda*z_1+\mu*z_2)
[/mm]
[mm] =f(\wurzel{(\lambda*x_1^2+\mu*x_2^2)+(\lambda*y_1^2+\mu*y_2^2)+(\lambda*z_1^2+\mu*z_2^2)}=\wurzel{\lambda*(x_1^2+y_1^2+z_1^2+\mu*(x_2^2+y_2^2+z_2^2)}
[/mm]
okay ich glaube da habe ich mich vorhin verschaut,das is doch eine lin.Abb.
bei dem [mm] \IC \to \IC ,z\mapsto [/mm] z (konjugiert kompl.) und da weiß ich nicht wie ich da vorgehen soll
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Do 22.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> für [mm]\IR \to \IR, x\mapsto[/mm] ax+b für a,b [mm]\in \IR[/mm] fest
> gewählt habe ich so gerechnet.
Wie denn? was hast du raus linear oder nicht?
> [mm]f(\lambda*\vektor{x_1 \\ y_1}+\mu*\vektor{x_2 \\ y_2}=f\vektor{\lambda*x_1+\mu *x_2 \\ \lambda*y_1+\mu*y_2}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{1 \\ 1}*\vektor{\lambda*x_1+\mu *x_2 \\ \lambda*y_1+\mu*y_2}=[/mm]
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1}(\lambda*\vektor{x_1 \\ y_1}+\mu*\vektor{x_2 \\ y_2})[/mm]
bis hierher ist es nicht flasch aber du solltest es zeigen!
die nächste zeile ist falsch und sinnlos! f ist doch die multiplikation mit [mm] /1,1)^T [/mm] was soll denn das f(x)sein?
du slolltest das Skalarprodukt links und rechts hinschreiben um zu sehen dass es gleich ist.
> [mm]\vektor{1 \\ 1}*\lambda*f(x)+\mu*f(y)[/mm]
>
> da wird dann doch nur f(x) mit dem Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> mulitpliziert ??
>
> Hier [mm]\IR^3 \to \IR ,(x,y,z)^T \mapsto \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
> habe ich so gerechnet
>
> [mm]f(\lambda*(x_1,y_1,z_1)+\mu*(x_2,y_2,z_2))=f(\lambda*x_1+\mu*x_2,\lambda*y_1+\mu*y_2,\lambda*z_1+\mu*z_2)[/mm]
schon das ist nicht sinnvoll
sieh noch mal die Def von linear, dann schreib wirklich einzeln hin [mm] f(\lambda*x\mu*y)=\wurzel{(\lamba*x_1+\mu*y_1)^2+(\lamba*x_2+\mu*y_2)^2+(\lamba*x_3+\mu*y_3)^2}
[/mm]
und jetzt vergleiche mit [mm] \lambda?\wurzel{.....}+\mu*\wurzel{....}
[/mm]
hallo f ist doch die Wurzel, was soll das f davor?
die linke Seite
> [mm]=f(\wurzel{(\lambda*x_1^2+\mu*x_2^2)+(\lambda*y_1^2+\mu*y_2^2)+(\lambda*z_1^2+\mu*z_2^2)}=\wurzel{\lambda*(x_1^2+y_1^2+z_1^2+\mu*(x_2^2+y_2^2+z_2^2)}[/mm]
> okay ich glaube da habe ich mich vorhin verschaut,das is
> doch eine lin.Abb.
>
>
> bei dem [mm]\IC \to \IC ,z\mapsto[/mm] z (konjugiert kompl.) und da
> weiß ich nicht wie ich da vorgehen soll
schrie be einfach wieder hin: erst die linke Seite, dann die rechte und dann vergleiche.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 22.03.2012 | | Autor: | racy90 |
okay rechte Seite : [mm] \vektor{1 \\ 1}(\lambda\cdot{}\vektor{x_1 \\ y_1}+\mu\cdot{}\vektor{x_2 \\ y_2})
[/mm]
Linke Seite [mm] :\lambda*\vektor{x_1 \\ y_1}+\mu*\vektor{x_2 \\ y_2}
[/mm]
Für [mm] \IR \to \IR, x\mapsto [/mm] ax+b für a,b [mm] \in \IR [/mm] fest gewählt
[mm] f(\lambda*x+\mu*y) =((\lambda*ax+b)+(\mu*ay+b)=\lambda*(ax+b)+\mu*(ay+b)
[/mm]
[mm] \IC \to \IC ,z\mapsto
[/mm]
[mm] (\lambda*z_1+\mu*z_2)=(\lambda*z_1(quer)+\mu*z(quer) [/mm] müsste lin.Abb sein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Fr 23.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe nicht, was du machst!
> okay rechte Seite : [mm]\vektor{1 \\ 1}(\lambda\cdot{}\vektor{x_1 \\ y_1}+\mu\cdot{}\vektor{x_2 \\ y_2})[/mm]
jetzt sollst du das ausrechnen, also das Skalarprodukt bilden!
> Linke Seite [mm]:\lambda*\vektor{x_1 \\ y_1}+\mu*\vektor{x_2 \\ y_2}[/mm]
das ist nicht die linke Seite, wo ist [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] geblieben? wieder wirklich ausrechnen und dann die 2 ausgerechneten Seiten vergleichen!
> Für [mm]\IR \to \IR, x\mapsto[/mm] ax+b für a,b [mm]\in \IR[/mm] fest
> gewählt
>
> [mm]f(\lambda*x+\mu*y) =((\lambda*ax+b)+(\mu*ay+b)=\lambda*(ax+b)+\mu*(ay+b)[/mm]
die Abbildung ist doch ax+b
also [mm] f(\lambda*x+\mu*y)=a*(\lambda*x+\mu*y)+b=a*\lambda*x+a\mu*y
[/mm]
[mm] \lambda*f(x)+\mu*f(y)=\lamba*(ax+b)+\mu*(ay+b)=a\lambda*x+a*\mu*y+\lambda*b+\mu*b
[/mm]
jetzt vergleiche die beiden Seiten!
>
> [mm]\IC \to \IC ,z\mapsto[/mm]
>
> [mm](\lambda*z_1+\mu*z_2)=(\lambda*z_1(quer)+\mu*z(quer)[/mm]
das Gleichheitszeichen ist falsch.
du musst wirklich jedesmal ausrechnen dass die Linearität erfüllt ist, du schreibst nur einen Teil der nötigen Gl. hin z.T, falsch.
wirklich immer mit der Definition der Abbildung [mm] f(\lambda*x+\mu*y) [/mm] hinschreiben und anwenden, dann [mm] \lambda*f(x)+\mu*f(y) [/mm] hinschreiben, anwenden 8ausrechnen) un dann sagen ja beide gleich folgt linear, oder nein nicht gleich nicht linear.
mach wenigstens die 2 erstn mal gründlich und richtig.
Gruss leduart
> müsste lin.Abb sein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 23.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Okay die Bsp habe ich nochmal durchgerechnet und bin dann auf die richtigen Ergebnisse gekommen.
Hier bin ich mir nur nicht sicher
[mm] \IC\to\IC, z\mapsto [/mm] z(quer)
[mm] f(\lambda*z+\mu*y)=\lambda*z(quer)+\mu*y(quer)
[/mm]
[mm] \lambda*f(z)+\mu*f(y)=\lambda*z(quer)+\mu*y(quer) [/mm] also müsste es eine lin.Abb sein oder
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 23.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo racy,
für [mm] z_1,z_2\in\IC [/mm] gelten:
[mm] \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}
[/mm]
[mm] \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}
[/mm]
> [mm]\IC\to\IC, z\mapsto[/mm] z(quer)
>
> [mm]f(\lambda*z+\mu*y)=\lambda*z(quer)+\mu*y(quer)[/mm]
Es gilt gemäß obigen Rechenregeln:
[mm] $f(\lambda\cdot z+\mu\cdot y)=\overline{\lambda\cdot z+\mu\cdot y}=\overline{\lambda\cdot z}+\overline{\mu\cdot y}=\overline{\lambda}\cdot\overline{z}+\overline{\mu}\cdot\overline{y}$.
[/mm]
FALLS [mm] \lambda,\mu\in\IR [/mm] gilt, folgt [mm] \overline{\lambda}=\lambda [/mm] und [mm] \overline{\mu}=\mu, [/mm] so dass deine Gleichung stimmt. Für beliebige [mm] \lambda,\mu\in\IC [/mm] ist sie i.A. falsch.
> [mm]\lambda*f(z)+\mu*f(y)=\lambda*z(quer)+\mu*y(quer)[/mm]
Ja.
> also
> müsste es eine lin.Abb sein oder
Das hängt davon ab, ob als Skalare nur Zahlen aus [mm] $\IR$ [/mm] oder beliebige Zahlen aus [mm] $\IC$ [/mm] zugelassen sind, also davon, ob [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR$- [/mm] oder als [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] betrachtet wird.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Fr 23.03.2012 | | Autor: | racy90 |
okay danke hab es verstanden!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Sa 24.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu den beiden letzten Abbildungen:
Was weißt Du über
[mm] \integral_{a}^{b}{(\lambda*f(x)) dx} [/mm] und [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x)+g(x)) dx} [/mm] ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 26.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich möchte nochmal kurz etwa fragen.
Wenn ich diese lin.Abbildung habe [mm] \IR^2 \to \IR^2 ,\vektor{x \\ y}\mapsto \vektor{x/2+y/4 \\ x} [/mm]
Wie kann ich dann diese Abbildung als Matrix darstellen?
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> Ich möchte nochmal kurz etwa fragen.
>
> Wenn ich diese lin.Abbildung habe [mm]\IR^2 \to \IR^2 ,\vektor{x \\
y}\mapsto \vektor{x/2+y/4 \\
x}[/mm]
>
> Wie kann ich dann diese Abbildung als Matrix darstellen?
Hallo,
die Abbildungsmatrix ist [mm] \pmat{\bruch{1}{2}&\bruch{1}{4}\\
1&0}.
[/mm]
Ich denke, Du siehst, wie ich sie gefunden habe.
Test: es ist [mm] $\vektor{x/2+y/4 \\ x}$=\pmat{\bruch{1}{2}&\bruch{1}{4}\\
1&0}*\vektor{x\\y}.
[/mm]
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Mo 26.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Super danke!
|
|
|
|
