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| Aufgabe | Sei f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung, sei V' Unterraum von V, W' Unterraum von W. Dann sind auch f(V`) und f^(-1)(W') Unterräume.
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Also hier muss man, denk ich wieder Zwei Richtungen beweisen.
Kann man sagen, dass V' [mm] \to [/mm] W' auch eine lineare Abbildung ist?
Ich habe irgendwie keinen Ansatz, ein Tipp wäre hilfreich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 So 30.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung, sei V' Unterraum von
> V, W' Unterraum von W. Dann sind auch f(V') und f^(-1)(W')
> Unterräume.
>
> Also hier muss man, denk ich wieder Zwei Richtungen
> beweisen.
???
> Kann man sagen, dass V' [mm]\to[/mm] W' auch eine lineare Abbildung
> ist?
Wozu? Abgesehen davon steht auch nirgends, dass $f(V') [mm] \subset [/mm] W'$ gelten soll?
> Ich habe irgendwie keinen Ansatz, ein Tipp wäre hilfreich.
Du hast die Unterraumaxiome zu prüfen:
Zu $f(V')$ (zu zeigen ist, dass $f(V)$ ein Unterraum von [mm] $\,W\,$ [/mm] ist!):
[mm] $\bullet$ [/mm] Warum ist $0 [mm] \in [/mm] f(V')$?
[mm] $\bullet$ [/mm] Wenn [mm] $w_1, w_2 \in [/mm] f(V')$: Warum gilt dann [mm] $w_1+w_2 \in [/mm] f(V')$?
[mm] $\bullet$ [/mm] (Ich nehme an, $V$ sei ein [mm] $\IK$-Vektorraum:) [/mm] Wenn [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] und $w [mm] \in [/mm] f(V'):$
Warum gilt dann [mm] $\lambda [/mm] w [mm] \in [/mm] f(V')$?
Analog für [mm] f^{-1}(W') [/mm] (zu zeigen ist, dass [mm] $f^{-1}(W')$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $\,V\,$ [/mm] ist!):
[mm] $\bullet$ [/mm] Warum ist $0 [mm] \in f^{-1}(W')$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Wenn [mm] $v_1, v_2 \in f^{-1}(W')$: [/mm] Warum gilt dann [mm] $v_1+v_2 \in f^{-1}(W')$?
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Wenn [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] und $w [mm] \in f(V')\,:$ [/mm] Warum gilt dann [mm] $\lambda [/mm] w [mm] \in f^{-1}(W')$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Danke erstmal,
nun ich habe ich versucht die Vektorraumaxiome zu beweisen, aber ich glaube dass es nicht ganz richtig ist.
Da V' [mm] \subset [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] V'.
Da wir hier eine lineare Abbildung haben, folgt aus f(0) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] f(V')
Seien [mm] x_1, x_2 \in [/mm] V' mit [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] w_1 [/mm] und [mm] f(x_2) [/mm] = [mm] w_2
[/mm]
Da f linear folgt: [mm] f(x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] = [mm] f(x_1) [/mm] + [mm] f(x_2) [/mm] = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] . Deshalb ist f(V') abgeschlossen unter Addition.
Ist das bisher richtig argumentiert?
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> Danke erstmal,
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> nun ich habe ich versucht die Vektorraumaxiome zu beweisen,
> aber ich glaube dass es nicht ganz richtig ist.
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> Da V' [mm]\subset[/mm] V [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\in[/mm] V'.
> Da wir hier eine lineare Abbildung haben, folgt aus f(0) =
> 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\in[/mm] f(V')
>
> Seien [mm]x_1, x_2 \in[/mm] V' mit [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]w_1[/mm] und [mm]f(x_2)[/mm] = [mm]w_2[/mm]
> Da f linear folgt: [mm]f(x_1[/mm] + [mm]x_2)[/mm] = [mm]f(x_1)[/mm] + [mm]f(x_2)[/mm] = [mm]w_1[/mm] +
> [mm]w_2[/mm] .
Hallo,
da V' ein VR ist [mm] x_1+x_2 \in [/mm] V' und somit
also ist [mm] f(x_1)+f(x_2) =f(x_1+x_2) \in [/mm] f(V')
> Deshalb ist f(V') abgeschlossen unter Addition.
>
> Ist das bisher richtig argumentiert?
Ja.
Gruß v. Angela
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