Lineare Abbildungen u. Matrize < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:19 Mo 05.06.2006 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | | Man bestimme zwei verschiedene Lineare Abbildungen f: [mm] R^3 [/mm] nach [mm] R^3 [/mm] mit f(2,1,-1)=(2,1,-1) und f(1,0,2)=(1,0,2). |
Hallo ich bins wieder!!! Also ich habe mir da einpaar Gedanken zu gemacht. Doe erste Abbildung für beide lineare Abbildungen erhalte ich mit der Einheitsmatrix. Aber wie erhalte ich die zweite lineare Abbildung bzw. Matrix, auf was bilde ich denn ab? Könnte mir das jemand erklären wie ich vorgehe?
LG
Maggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:01 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Maggi!
> Man bestimme zwei verschiedene Lineare Abbildungen f: [mm]R^3[/mm]
> nach [mm]R^3[/mm] mit f(2,1,-1)=(2,1,-1) und f(1,0,2)=(1,0,2).
> Hallo ich bins wieder!!! Also ich habe mir da einpaar
> Gedanken zu gemacht. Doe erste Abbildung für beide lineare
> Abbildungen erhalte ich mit der Einheitsmatrix.
Du meinst die Identitaetsabbildung, die jeden Vektor auf sich selber abbildet? Die zughoerige Matrix ist die Einheitsmatrix. Du musst aber schon zwischen Matrizen und zugehoerigen Abbildungen unterscheiden 
> Aber wie
> erhalte ich die zweite lineare Abbildung bzw. Matrix, auf
> was bilde ich denn ab? Könnte mir das jemand erklären wie
> ich vorgehe?
Die beiden Vektoren $(2, 1, -1)$ und $(1, 0, 2)$ sind linear unabhaengig. Nimmst du noch einen dritten linear unabhaengigen dazu, etwa $v$, dann ist $(2, 1, -1), (1, 0, 2), v$ eine Basis von [mm] $R^3$. [/mm] Wie sieht nun die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung aus, die $(2, 1, -1)$ auf $(2, 1, -1)$ und $(1, 0, 2)$ auf $(1, 0, 2)$ abbildet? Welche Eintraege sind hierdurch schon bestimmt, welche nicht? Die, die noch frei sind, kannst du beliebig aendern, ohne das die geforderte Eigenschaft verletzt wird! Somit kannst du dir dann eine weitere Abbildung suchen, die nicht die Identitaetsabbildung ist.
LG Felix
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